Quantenelektrodynamik - Vorlesung im Sommersemester 2009 - Ulrich Brosa

Seminarraum Renthof 5 (Raum 104) im alten
Hauptgebäude des Fachbereichs Physik
Marburger Oberstadt, Renthof 5
mittwochs 10:15 bis 11:45
Beginn 15. April 2009

Der Aufreißer für diese Vorlesung ist Werner war ein Blödmann. Sinn der Vorlesung ist demgemäß die Entmystifizierung der Physik: Unschärfe-Relation, Welle-Teilchen-Dualismus, Feld-Quantisierung, Vernichter und Erzeuger, Hamilton-Operator, Schrödinger-Gleichung, Spinor usw., große Worte für kleines Verstehen.


Beabsichtigter Inhalt

  1. Drei Theorien des schwarzen Strahlers (Planck, Einstein, Bose)
  2. Vektoren und Spinoren anschaulich
  3. Die Maxwell- und die Dirac-Gleichungen und wie man sie leicht löst
  4. Zweite Quantisierung: viele Teilchen im hochdimensionalen Raum
  5. Was haben Operatoren des harmonischen Oszillators in der Quantenfeldtheorie zu suchen?
  6. Casimir-Effekt und Lamb's Verschiebung
  7. Feynman's Renormierung und ihre Bestätigung durch Messungen

Inhalt

FINIS LECTIONIS

Nicht gemacht

24.9.2009: Student/innen haben diese Vorlesung benotet.


Literatur


Anmerkungen

[Anomales magnetisches Moment]
Die Beschreibung der Elektronen mit Spinoren ergibt den richtigen Wert des magnetischen Moments des Elektrons bis auf eine winzige, jedoch messbare Korrektur, eben das anomale magnetische Moment. Dass diese Korrektur richtig berechnet werden kann, gilt als einer der größten Erfolge der Quantenelektrodynamik.

[Bohm-Aharonov-Effekt]
In der Dirac-Gleichung wird das Bispinor-Feld des Elektrons nicht mit den elektromagnetischen Feldstärken, sondern mit deren Potenzialen gekoppelt. Die Richtigkeit dieses Ansatzes wird durch den Bohm-Aharonov-Effekt bestätigt. Der wird durch eine Reihe von Animationen veranschaulicht: Ein Elektron passiert einen doppelten Spalt. Zwischen den Spalten ist eine dünne Spule, in der ein elektrischer Strom fließt oder nicht.

[Bose]
Eigenwillige Ableitung der Einstein-Bose-Statistik in einem Wikipedia-Artikel. Einfacher ist wohl die Originalarbeit: S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Zeitschrift für Physik 26 (1924) 178. Ohne Lizenz kann die Übersetzung der Arbeit ins Portugiesische runtergeladen werden: A lei de Planck ea hipotese dos quanta de luz, worin die Formeln alle stehen und die paar portugiesischen Wörter auch nicht schwierig sind.

[Casimir-Effekt]
Der
Casimir-Effekt gilt als beste experimentelle Bestätigung der Nullpunktsschwankungen des elektromagnetischen Felds. Zwei metallische Platten werden zusammengedrückt, auch wenn sie nicht elektrisch geladen sind. Der Effekt ist winzig und wird messbar erst dann, wenn die Platten sehr dicht beieinander liegen. Originalarbeit: Hendrik Casimir, On the attraction between two perfectly conducting plates, Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 51 (1948), 61-63

[Darstellungssätze]
Kennt man die Lösungen der skalaren Helmholtz-Gleichung, kann man daraus die Lösungen der vektoriellen Maxwell-Gleichungen oder der spinorischen Dirac-Gleichungen durch schlichtes Differenzieren ableiten. Ähnliche Sätze gelten für die vektoriellen Gleichungen der Hydrodynamik und der Elastodynamik. Das Prinzip derartiger Darstellungssätze wurde erstmals von U.Brosa: Zur Lösung von Randwertproblemen mit Vektorfeldern (siehe Literatur) dargelegt. Zum in der Vorlesung entwickelten Darstellungssatz für die Dirac-Gleichung vergleiche I.C.Biedenharn,
Remarks on the relativistic Kepler problem, Phys.Rev. 126 (1962) 845.

[Einsteins Artikel über induzierte und spontane Emission]
Strahlungs-Emission und Absorption nach der Quantentheorie
Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 13/14 (1916) 318–323
Zur Quantentheorie der Strahlung
Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916) 47–62

[Einstein-de-Haas-Effekt]
Experimenteller Beweis, dass Elektronen nicht Vektoren, sondern Spinoren sind. Die Kopplung eines externen Magnetfelds mit dem inneren magnetischen Moment eines Elektron, dem Spin, ist doppelt so groß wie die Kopplung des externen Magnetfelds mit dem magnetischen Moment, das durch die Bewegung des elektrisch geladenen Elektrons zustande kommt. Das Einstein-de-Haas-Experiment sollte mit dem Stern-Gerlach-Experiment verglichen werden. Im zweiten wird das innere magnetische Moment mit dem Impuls, im ersten mit dem Drehimpuls in Beziehung gesetzt. Unvereinbarkeit der beiden Effekte, wenn Elektronen Vektoren wären. Einleuchtende Erklärung von A.A.Sokolow et al., Quantenmechanik (siehe Literatur).

[Geschichte]
Originelle Veröffentlichungen aus den Anfängen der Quantenelektrodynamik hat E.P.J. de Haas gesammelt.

[Grotrian]
Ein Grotrian-Diagramm, heute meist Niveau-Schema genannt, veranschaulicht den Zusammenhang zwischen den Energie-Niveaus eines quantenmechanischen Systems und den Energien der emittierten oder absorbierten Strahlung. Die Atom-Physik war Vorbild für die Kern- und Hochenergie-Physik. Von höchstem Interesse ist immer die Multiplet-Struktur der Niveaus, weil man aus ihr schließen kann, wieviele Fermionen (Elektronen, Nukleonen oder Quarks) an den Übergängen teilnehmen. Z.B. in der Atomphysik:
* Dublets: ein Elektron (z.B. Hydrogen, Lithium, Sodium)
* Singlets und Triplets: zwei Elektronen (z.B. Helium, Carbon)
* Dublets und Quartets: drei Elektronen (z.B. Nitrogen)
Der durchschlagende Erfolg dieses Konzepts begründet die Annahme, dass sich jedes Fermion in einem eigenen Raum ausbreitet, wobei jedoch stets die Antisymmetrie gewährleistet wird.
Ein anderer Beweis für diese seltsame Hypothese ist die kovalente Bindung, welche die meisten Moleküle zusammenhält.

[Hypergeometrische Funktionen]
C.F.Gauß hatte den Funktionen-Zoo der mathematischen Physik satt und definierte die überraschend einfache hypergeometrische Funktion F(a,b;c;z), die die meisten der damals bekannten Funktionen als Spezialfälle enthielt. Später entdeckte E.Kummer, dass die so zu sagen restlichen Funktionen in der konfluenten hypergeometrischen Funktion F(a;b;z) enthalten sind. Die konfluente entsteht aus der hypergeometrischen Funktion durch einen Grenzübergang; daher die Bezeichnung konfluent. E.T.Whittaker fand etwa 1900 heraus, dass zwei mit der konfluenten hypergeometrischen eng verwandte Funktionen für Anwendungen in der Physik noch besser geeignet sind als Kummers konfluente. Es ist an der Zeit Physik-Studenten möglichst früh mit der hypergeometrischen und der konfluenten hypergeometrischen Funktion vertraut zu machen. E.T.Whittaker, G.N.Watson: A Course of Modern Analysis (siehe Literatur), W.Magnus, F.Oberhettinger, R.P.Soni: Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics (siehe Literatur).

[Pascal Jordan]
Der angebliche Begründer der Quantenfeldtheorie war ein gefährlicher Idiot, der bei geringem Verstand Karriere machen wollte und sich den jeweils Herrschenden anbiederte. Gut an ihm war nur seine Dummheit, da sie ihm Schranken setzte.

[Kugel-Besselfunktionen]
Kugel-Besselfunktionen sind Besselfunktionen mit halbzahligem Index. Zuverlässigste Referenz wohl in M.Abramowitz, I.A.Stegun: Handbook of Mathematical Functions (siehe Literatur), Chap.10 Bessel Functions of Fractional Order. Dort findet man auch die Kugel-Hankelfunktionen als "spherical Bessel functions of the third kind". Wolfram Research macht Teile seines Programms Mathematica in einer wissenschaftlichen Such-Maschine WolframAlpha kostenlos zugänglich. Um beispielsweise den Graphen und die wichtigsten Formeln der zweiten Kugel-Besselfunktion zu ersehen, tippt man in die Maske von www.wolframalpha.com "j_2(x)" ein. Resultat: Klick hier!

[Kugelfunktionen]
Die klassische Theorie der Kugelfunktionen (Spherical Harmonics) wird leicht lesbar und tiefgründig von J.Lense: Kugelfunktionen (siehe Literatur) dargeboten. Lenses Buch zeichnet sich durch etliche, hochgradig nichttriviale Anwendungen auf physikalische Probleme aus, inbesondere die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf der Erdoberfläche. Standardreferenz ist das Buch von A.R.Edmonds: Angular Momentum in Quantum Mechanics (siehe Literatur), dem jedoch anzumerken ist, dass der Autor zwar fleißig gesammelt, aber wenig verstanden hat. Um Graphen und Eigenschaften der Legendre-Polynome und der zugeordneten Legendre-Funktionen zu ersehen, tippt man in die Maske der mathematischen Suchmaschine www.wolframalpha.com z.B. "LegendreP[3,x]" bzw. "LegendreP[2,1,x]" usw. ein.

[Lamb Shift]
Die Dirac-Gleichung liefert die Niveaus des Wasserstoffatoms mit beträchtlicher Genauigkeit, was mit dem Wort Feinstruktur zum Ausdruck gebracht wird. Dennoch sind winzige Abweichungen davon, die Hyperfeinstruktur, messbar. Diese winzigen Korrekturen werden Lambsche Verschiebungen genannt. Dass sie richtig berechnet werden können, gilt als größter Erfolg der Quantenelektrodynamik. Juli 2010: Mit dem größten Erfolg scheint es vorbei zu sein. Messungen der Lamb-Verschiebung im myonischen Wasserstoff-Atom können nur erklärt werden, wenn ein deutlich kleinerer Radius des Protons postuliert wird als im gewöhnlichen Wasserstoff-Atom mit einem Elektron. R.Pohl et.al, The size of the proton, Nature 466, 213-216 (8 July 2010).

[Parzielle Differenzialgleichungen]
Quantenelektrodynamik läuft auf die Lösung eines gekoppelten Systems partieller Differentialgleichungen in einem hochdimensionalen Raum hinaus; die zu findenden Funkzionen sind Vektor- und Spinor-Felder. Meine Vorlesung besteht zu einem beträchtlichen Teil darin, diese Differenzialgleichungen auf bekannte Differenzialgleichungen für skalare Quantitäten zu reduzieren. Um so mehr wird den verehrten Studentinnen und Studenten geraten sich solide Kenntnisse zur Lösung einfacher partieller Differentialgleichungen zu verschaffen: 1) Potentialgleichung, 2) Wärmeleitungsgleichung, 3)Wellengleichung einfachster Art. Als Lehrbücher dafür geeignet sind
A.N.Tychonoff, A.A.Samarski: Differentialgleichungen der mathematischen Physik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1959
M.A.Lawrentjew, B.W.Schabat: Methoden der komplexen Funktionentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967
Die Lehrbücher der sowjetischen Ära sind besser als die noch älteren deutschen und die modernen Lehrbücher, weil in ihnen bei beträchtlicher theoretischer Tiefe mehr Anwendungen durchgerechnet werden, z.B. Klangfarben der Saiteninstrumente, Wirksamkeit panzerbrechender Geschosse usw.

[QED]
Was Wikipedia und PD Haussmann unter quantum electrodynamics verstehen.

[Quantenchromodynamik]
ist eine Theorie der starken Wechselwirkungen nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik. Das Ding mit den Quarks. Was ich davon halte, wird als Quakpiep beschrieben.

[Quaternion]
Der Vorläufer der Spinor-Algebra ist die Quaternionen-Algebra. Die beiden Algebren sind sogar weitgehend identisch. Man muss nur die alten quarternionischen Einheiten I, J, K mit -i, dem Negativen der gewöhnlichen imaginären Einheit, multiplizieren um die bei Quanten-Physikern beliebten Pauli-Matrizen zu bekommen. Moderne Schreibweise der Quaterionen-Algebra mit Pauli-Matrizen im Buch von C.W.Misner, K.S.Thorne, J.A.Wheeler: Gravitation (siehe Literatur). Hamilton publizierte die Grundgleichungen der Quaterionen-Algebra zuerst nicht in einer wissenschaftlichen Zeitschrift, sondern durch einen Akt des Vandalismus. Brougham Bridge wird heute in ähnlicher Weise verehrt wie Lourdes. Dass es die Quantenmechanik nicht braucht um Quaterionen (d.h.Spinoren) nutzbringend anzuwenden, wurde schon von F.Klein und A.Sommerfeld: Über die Theorie des Kreisels (siehe Literatur) vorgeführt; dazu auch E.T.Whittaker: Analytical Dynamics (siehe Literatur).

[Spinor]
Auffälligster Unterschied zwischen Vektor und Spinor ist, dass ein Spinor erst nach einer Drehung um 720° in seine ursprüngliche Lage zurückkehrt. Dahinter steckt, wie in einem Youtube-Movie Air on the Dirac Strings vorgeführt wird, keine Eigenschaft, die nur der Mikrokosmos hat, sondern eine überall beobachtbare Eigenschaft des dreidimensionalen Raums. Die Visualisierung, die in der Vorlesung geboten wird, ist allerdings noch anschaulicher als die im Movie. - Wir haben von dem, was in der Vorlesung vorgeführt wurde, eigene Movies gemacht.
Deutsche Erklärung: Spinor zweimal gedreht. Spinor einmal gedreht. Jede Hand ist ein Spinor
. English explanation: Spinor rotated twice. Spinor rotated once. Your palm is a spinor
.

[Welle-Teilchen-Dualismus]
Sind Elektronen Teilchen oder Wellen? Eindrucksvollstes Experiment von A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern, American Journal of Physics 57 (1989) 117-120. Popularisiert wurde der Versuch mit einem Youtube-Movie Dr Quantum - Double Slit Experiment. Ein echtes Experiment, in dem Moleküle nach Beugung am Doppelspalt ein Interferenz-Muster aufbauen, zeigt ein ein anderes Youtube-Movie Thomas Juffmann et.al: Real-time single-molecule imaging of quantum interference, Nature Nanotechnology (2012). Mit Hilfe extrem kurzer Laser-Pulse werden seit 2008 komplette Movies von Elektronen gemacht, die aus Atomen gerissen auf einer Lichtwelle ins Unendliche reiten: J.Mauritsson, P.Johnsson, E.Mansten, M.Swoboda, T.Ruchon, A.L´Huillier, K.J.Schafer, Coherent Electron Scattering Captured By an Attosecond Quantum Stroboscope, Phys.Rev.Lett.100, 073003, (February 22nd, 2008). Die Ergebnisse von Mauritsson und anderen widerlegen die statistische Deutung der Quantenmechanik nicht, weil sie aus aus einer großen Anzahl einzelner Messungen gewonnen worden sind, legen aber nahe, dass jedes einzelne Elektron eine Welle ist.

[Yang-Mills-Theorie]
Was Wikipedia darunter versteht. Jede Quantenfeldtheorie muss im Wesentlichen so gebaut sein wie die Quantenelektrodynamik. Es gibt die eigentlichen Teilchen (Elektronen in der QED) und Hilfsteilchen, welche die Wechselwirkungen zwischen den eigentlichen Teilchen vermitteln (Photonen in der QED). In die Bewegungsgleichungen der eigentlichen Teilchen (Dirac-Gleichung in der QED) müssen die Vektorfelder der Hilfsteilchen so eingehen, dass Vieldeutigkeiten in den Vektorfeldern der Hilfsteilchen durch physikalisch bedeutungslose Phasenwinkel in den Spinorfeldern der eigentlichen Teilchen kompensiert werden können. Die gängigen Quantenfeldtheorien der starken Wechselwirkung und der elektroschwachen Wechselwirkung sind Yang-Mills-Theorien.

[Zweite Quantisierung]
auch Feld-Quantisierung genannt. Der in der Vorlesung beschriebene Weg zu Besetzungszahlen, Erzeugern und Vernichtern stammt von P.A.M Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc.Roy.Soc., A114 (1927) 243, wurde jedoch etwas entmystifiziert; Lehrbuchdarstellungen in P.A.M.Dirac: The Principles of Quantum Mechanics (siehe Literatur) und D.I.Blochinzew: Grundlagen der Quantenmechanik (siehe Literatur). Diracs Weg unterscheidet sich wesentlich von dem, was in den meisten Lehrbüchern über zweite Quantisierung geschrieben steht. Im Rahmen des Üblichen, aber leicht lesbar sind die Ausführungen von H.Haken, Quantenfeldtheorie des Festkörpers (siehe Literatur), §§ 11 ff sowie die Ausführungen von S.Flügge, Practical Quantum Mechanics II (siehe Literatur), Problem No.212, die ihrerseits von Jordan und Heisenberg abgeschrieben haben.

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