Der 'Goldene Schnitt', ein in rationalen Zahlen nicht ausdrückbares Teilungsverhältnis, war vermutlich bereits PLATON bekannt. Erstmals beschrieben hat den Goldenen Schnitt der Mathematiker EUKLID, seinerzeit unter dem Namen "proportio habens medium et duo extrema", was etwa "Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis" bedeutet. Diese Teilung wurde meist im Zusammenhang mit dem Fünfeck oder dem Pentagramm (der gleichmäßige, fünfzackige Stern, der entsteht, wenn man die Diagonalen des Fünfecks einzeichnet), das den Goldenen Schnitt mehrfach beinhaltet, genannt.

Der Theologe und Mathematiker Luca PACIOLI (1445 - ~1510) führte die Bezeichnung "divina proportione", also "göttliches Verhältnis", ein, da er in den drei aufeinander bezogenen Abschnitten ein Symbol der Trinität zu sehen glaubte. Leonardo DA VINCI, der Paciolis Traktat gleichen Namens illustrierte, prägte wohl den Begriff "sectio aurea"; spätestens im 19. Jahrhundert, als zahlreiche Schriften über die mathematische und ästhetische Bedeutung dieses "wichtigsten Kunstgesetzes, das uns die Natur geoffenbart hat" (K. Witzel, Untersuchungen über gotische Proportionsgesetze, Berlin 1914, S. 17) erschienen, verbreitete sich der Begriff "Goldener Schnitt". Der Mythos der vollkommenen, ästhetisch reinen Proportion hat sich bis in unsere Zeit erhalten.

Die Thematik einer Goldenen Teilung ist vielseitig. Man glaubt sie heute nicht nur in der Natur, der Mathematik und der Architektur, sondern auch der Astronomie, der Malerei, Bildhauerei und Musik, zu finden; in Brettspielstrategien und an der Börse, in den Proportionen des menschlichen Körpers, in vielen Design- und Gestaltungsfragen, in den GRIMMschen Märchen und unzähligen anderen Bereichen bietet der Goldene Schnitt Anlaß zur Analyse; manchmal mehr, manchmal weniger augen- und sinnfällig.

Definition des Goldenen Schnittes

EUKLID formulierte bereits 330 v.Chr. eine interessante Aufgabe für seine Schüler:
Eine gegebene Strecke so zu teilen, daß das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.

Heute lautet die Definition des Goldenen Schnittes im Allgemeinen:
Ein Punkt S teilt eine Strecke AB dann im Goldenen Schnitt, wenn sich die größere Teilstrecke zur kleineren verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Anders ausgedrückt:

AS : SB = SB : AB; S teilt AB im Goldenen Schnitt.

Es existieren immer zwei Punkte S1 und S2, die dieselbe Strecke AB im Goldenen Schnitt teilen können. Der jeweils größere Teil der Strecke wird meist mit M (für Major), der kleinere mit m (für minor) bezeichnet.

Weiterhin gilt dann:

M/m = ½·(1+sqrt(5)) = 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286...

Die Konstante ½·(1+sqr(5)) wird oft mit dem griechischen Buchstaben "ø" bezeichnet.

Viele Konstruktionen des Goldenen Schnittes stammen noch aus dem Altertum. Albrecht Dürer beschrieb einige in seinen persönlichen Aufzeichnungen, weil er von ihnen sehr beeindruckt war. Diese Konstruktionen sind einfach auszuführen und vielen Interessierten bereits bekannt. Lediglich die Zeichnungen und je eine kurze Beschreibung sollen noch einmal kurz auf sie hinweisen.

Konstruktion des Goldenen Schnittes

Die nachfolgenden Skizzen erläutern die grundlegenden Konstruktionen des Goldenen Schnittes:

Bild 1.

Die Hälfte der Strecke AB wird senkrecht auf B abgetragen. Um den entstehenden Punkt C wird mit dem Radius CB ein Kreisbogen geschlagen. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Strecke AC heißt D. Um A wird ein Kreisbogen mit dem Radius AD geschlagen. Der Schnittpunkt des Kreises mit AB teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt (innere Teilung).

Bild 2.

Die Hälfte der Strecke AB wird senkrecht auf A abgetragen. Um den entstandenen Punkt C wird ein Kreisbogen mit dem Radius CB geschlagen. Der Schnittpunkt mit der Verlängerung der Strecke CA über A hinaus heißt D. Um A wird nun ein Kreisbogen mit dem Radius AD geschlagen. Der Schnittpunkt mit der Strecke AB heißt S und teilt AB im Goldenen Schnitt (innere Teilung).

Bild 3.

Über der Strecke AS wird ein Quadrat mit der Seitenlänge AS errichtet. Von M, der Mitte der Strecke AS, wird ein Kreisbogen mit dem Radius MC geschlagen. Die Strecke AS schneidet die Strecke AB im Goldenen Schnitt, wobei B der Schnittpunkt des Kreises mit der Verlängerung von AS ist (äußere Teilung).

Erläuterung:

Eine Konstruktion der inneren Teilung bedeutet, daß eine bestehende Strecke durch einen zu konstruierenden Punkt im Goldenen Schnitt geteilt wird. Eine äußere Teilung liegt vor, wenn die bestehende Teilstrecke selbst Major oder minor einer durch einen zu konstruierenden Punkt entstehenden Gesamtstrecke ist.

Die meisten Konstruktionen, die heute zum Goldenen Schnitt bekannt sind, wurden im Altertum erdacht und sind schon lange bekannt.

Bei der nächsten, ebenfalls sehr einfachen Konstruktion verwundert allerdings, daß sie nicht schon zweitausend Jahre früher gefunden wurde. Erst 1982 wurde sie von George ODOM das erste Mal ausgeführt.

Bild 4.

XYZ sei ein Dreieck mit dem Umkreis K. A und S seien die Mittelpunkte der Seiten XZ und YZ. Die Gerade durch A und S schneidet K in C und B. Behauptet wird, daß S die Strecke AB im Goldenen Schnitt teilt.

Aus dem Sehnensatz AS² = SY·SZ = SB·(AS+SB) folgt nach Umformen

(AS/SB)² = AS/SB + 1

Mathematische Eigenschaften

Die stetige Teilung einer Strecke, wie der Goldene Schnitt auch bezeichnet wird, besitzt sehr interessante mathematische Eigenschaften. Zuerst ein kleiner Einblick, wie sie berechnet werden kann.

Eine sehr einfache mathematische Beschreibung der irrationalen Zahl ist

ø = ½·(1+sqr(5)). 

Die nachfolgenden Ausdrücke entstehen durch Umformen und sind jeder für sich interessant:

ø-1 = 1÷ø

ø läßt sich aber auch als unendliche Reihe / als Kettenbruch darstellen:

ø = sqr(1+sqr(1+sqr(1+sqr( ...

ø = 1+(1÷(1+(1÷(1+(1÷...
(aus x¹=1÷(1+x°))

Übrigens:
ø ~ ln3 ÷ ln2 (Fehler: 2%) Diese Näherung wird ob ihrer ästhetischen Einfachheit oft von Gestaltern zitiert, hat in sich aber mit dem Goldenen Teilungsverhältnis nichts zu tun.

Die mathematisch sicherlich interessanteste Berechnungsvorschrift ergibt sich aus der unendlichen Reihe der sogenannten Fibonacci-Zahlen, die man gewinnt, wenn man die ersten beiden Summanden mit 0 und 1 definiert und jedes weitere Reihenglied als Summe der beiden vorherigen definiert. Es entsteht die folgende Reihe:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181  6765 10946 17711 28657 46368 75025 usw.

(Tip: Weitere Reihenglieder erhältst du, wenn du bsp. in Microsoft Excel® in die Zelle "A1" 0, in die darunter 1 einträgst. In "A3" trägst du die Formel "=A1+A2" ein, in "A4" muß "=A2+A3" stehen, und alle weiteren Zellen errechnet das Programm automatisch, wenn man die Zellen markiert und das Plus am rechten unteren Zellenrand nach unten zieht. Notfalls mal jemanden fragen, der Microsoft versteht.)

Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Nun, der ist der Grenzwert des Quotienten jeweils zwei aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Das heißt: Eine beliebige Fibonaccizahl, geteilt durch ihren Vorgänger, nähert sich ø um so mehr, um so größer die Fibonaccizahl ist. 8 / 5 = 1,6 ist schon recht nah, und bereits der Quotient 2584 / 1597 = 1,61803381... stimmt mit ø auf 6 Nachkommastellen überein. Das folgende Diagramm zeigt die Annäherung an den Grenzwert ø:

Bild 5.

Soweit eine kleine Einführung in die Thematik des Goldenen Schnittes. Weiterführende Literatur findest Du unter
www.goldener-schnitt.info