Projekt Mittelwertsatz

 

 Das Projekt

 

1

Voraussetzungen

1.1

Differenzierbarkeit 

1.2

Stetigkeit

1.3

Beispiel

 

2

Mittelwertsatz

2.1

Beweis

2.2

Beispiel

 

3

Satz von Rolle

3.1

Beweis

3.2

Beispiel

 

4

Links

 

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 Kommentar

2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Anwendung im Alltag

Ein Fahrzeug fährt von Punkt A zu Punkt B mit einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h. An mindestens einem Punkt C zwischen A und B muß die momentane Geschwindigkeit mit der mittleren Geschwindigkeit übereinstimmen.

Da C aber nur zwischen A und B liegt und nicht in der Mitte des Intervalles, ist die Bezeichnung Mittelwertsatz irreführend. Es müßte besser "Zwischenwertsatz" heißen.

Mittelwertsatz

Satz

Im Intervall [a,b] sei f(x) stetig und im Intervall (a,b) differenzierbar.
Dann gibt es in (a,b) mindestens ein x,
für das gilt:

Anstieg der Sekante = Ableitung bei x mit x Î (a,b).

Geometrische Deutung

Es gibt eine Tangente an den Graphen von f im Intervall (a,b),
die die gleiche Steigung hat wie die Sekante durch die Punkte
P1(a | f(a)) und P2(b | f(b)).

Gegenbeispiele

Gegenbeispiele

Der Mittelwertsatz gilt nicht, wenn die Voraussetzungen im gegebenen Intervall nicht erfüllt sind (siehe Abbildung):

1. Die Funktion ist nicht differenzierbar (Knick).
2. Die Funktion ist nicht stetig (Sprung).

 http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/

Carina Henze, Claudia Wilke