Projekt Mittelwertsatz

 

 Das Projekt

 

1

Voraussetzungen

1.1

Differenzierbarkeit 

1.2

Stetigkeit

1.3

Beispiel

 

2

Mittelwertsatz

2.1

Beweis

2.2

Beispiel

 

3

Satz von Rolle

3.1

Beweis

3.2

Beispiel

 

4

Links

 

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 Kommentar

2.1 Beweis des Mittelwertsatzes

Annahme

Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Mittelwertsatz

Sei f(x) im Intervall [a,b] Î R stetig und auf (a,b) differenzierbar, dann existiert mindestens ein Punkt Pt(c | f(c)) Î (a,b), dessen Tangente t(x) parallel zur Sekante s(x) durch P1(a | f(a)) und P2(b | f(b)) verläuft bzw.

Anstieg der Sekante = Ableitung bei x.

Beweis

1. Funktionsgleichung der Sekante s(x)

Anstiegdreiecke von s(x)

Der Anstieg m der Geraden berechnet sich mit dem Anstiegsdreieck:

Anstiegsberechnung

Da der Anstieg zu jedem Punkt der Geraden gleich ist, kann man verallgemeinernd für P2 auch Px einsetzen und dies gleichsetzen:

Herleitung der Gleichung für s(x)

2. Die Hilfsfunktion h(x)

Hilfsfunktion h(x)

h(x)=f(x)-s(x)
Eingesetzte Gleichung von h(x)
h(x) ist stetig und differenzierbar, da s(x) als Gerade und f(x) nach Annahme stetig und differenzierbar sind.

3. Ableitung bilden

Ableitung von h(x)

4. Nullsetzen an der Stelle c

Es gilt h(a)=h(b)=0, da f(x) und s(x) sich an diesen Stellen schneiden, d.h. den gleichen Wert haben. Da h(a)=h(b), beträgt der Anstieg der Sekante durch die Punkte gleich 0.
Da die Sekante parallel zur Tangente an der Stelle c ist (nach Annahme), ergibt sich h'(c)=0.

wzbw.wzbw.

 http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/

Carina Henze, Claudia Wilke