Wir erleben eine unglaubliche Vielfalt in der Welt um uns (und in uns) - läßt sich diese Komplexität auf einfache Prinzipien, Ideen oder Regeln zurückführen? Die modernen Naturwissenschaften bejahen diese Frage und konkretisieren die Antwort: Komplexe Phänomene oder Objekte werden aus einfacheren erklärt, die man auf auslotbaren Ebenen sucht.
Aus den vereinfachten Lösungsansätzen kann man besonders statische Systeme besser verstehen, beherrschen und vorausberechnen. Aber, irgendwann ist man gezwungen von der Oberflächen-Ebene wieder in die Tiefe zu gehen: ... sind Wolken wirklich runde Blasen? ... sind Berge wirklich Kegelschnitte? ... verlaufen alle technischen Prozesse wirklich linear oder sinusförmig?

Chaos:

Eher zufällig und nicht ganz ernst gemeint wurde das Wort zuerst in der Mathematik eingeführt. J. Yorke veröffentlichte 1975 einen Artikel:
"Periode Three implies Chaos". Dort untersuchte er Eigenschaften von Abbildungen eines Intervalls auf sich selbst, wobei nichtperiodisches Verhalten entstand (bei ganz bestimmten Anfangswerten). Eben diese starke Abhängigkeit mathematischer (und später auch physikalischer) Systeme von ihren Anfangswerten wurde ab dieser Zeit als "chaotisch" bezeichnet.

Ein Charakteristikum chaotischer Systeme ist also ihre Empfindlichkeit gegen Veränderung der Anfangs- oder Randbedingungen; oft schlägt regelmäßiges Verhalten plötzlich in unregelmäßiges um. Bereits 1963 hatte E. Lorenz dieses Verhalten am Beispiel mathematischer Klimamodelle gefunden:
Der Flügelschlag eines Schmetterlings im Golf von Mexiko könnte das Wetter in Europa beeinflussen, meinte er, um diese Abhängigkeit einprägsam darzustellen ("Schmetterlings-Effekt"). Wir fragen uns heute: Könnten die Glockenmänner auf dem Leipziger Kroch-Hochhaus dann nicht auch einen Tornado in den Südstaaten der USA verursachen? Hat dies noch etwas mit dem Ur-Chaos als Abgrund, Leere zu tun? Ja, dieses entstand und entseht in den Köpfen der Wissenschaftler, denn lange als sicher geltende Phänomene wurden plötzlich unsicher, nicht mehr vorhersagbar!

H. Poincare hatte 1889 die langfristige Stabilität der Planetenbahnen untersucht.
Er fand heraus, dass sich winzige gegenseitige Bahnstörungen aufschaukeln und zu drastischen Veränderungen führen könnten. Obwohl er diese Angelegenheit dann nicht weiterverfolgte, da er vor den Konsequenzen zurückschreckte, spricht man heute von Poincare-Szenarien: Die Entwicklung eines Systems vom geordneten zum chaotischen Verhalten.

Die Chaostheorie untersucht komplexe nichtlineare dynamische Systeme. Dabei treten grundsätzlich zwei Arten von Prozessen auf:

     Aus Ordnung entsteht Chaos: Wie gehen Prozesse, die (oft) einfachen Gesetzen gehorchen,
    von geordnetem zu (völlig)ungeordnetem Verhalten über?
     Vom Chaos zur Ordnung: Wie entstehen in diesen Übergängen wieder neue Ordnungsstrukturen (Antichaos)?

Angemerkt werden muss, dass bisher kein einheitlicher Ablauf gefunden wurde, es gibt Ähnlichkeiten, aber jedes System entwickelt sich anders zwischen Chaos und Ordnung. Zusammen mit der großen Anwendungsbreite der Chaostheorie bewirkt dies (zurecht?) Verständnisschwierigkeiten.
Chaostheorie bewirkt Chaos - Durcheinander, Wirrwarr - aber hoffentlich kein Gähnen!

Fraktale:

Dabei handelt es sich um geometrische Objekte, die nicht in die klassische (Euklidsche) Geometrie passen, in der es um Objekte wie Punkte, Geraden, Ebenen, usw. geht.

Beispiel: Küstenlinien. B. Mandelbrot stellte die Frage: Wie lang ist die Küste Englands?
Seine Antwort: Es kommt darauf an, mit welchem Maßstab man mißt!
Denn:

     Je genauer man hinschaut, desto länger wird die Küste.
     Immer wieder treten ähnliche Formen auf.

Mathematisch wurde solchen Linien Dimensionen zwischen 1 (Gerade) und 2 (Ebene) zugeschrieben, also "gebrochene" (fraktale) Dimensionen, z.B. 1,26 (entspricht etwa der Küste Englands). B. Mandelbrot war der Schöpfer dieses Begriffs und fand selbst das berühmteste aller Fraktale: Die nach ihm benannte Menge (auch: "Apfel-Männchen"). Es entsteht aus einer einfachen Formel, wobei das Ergebnis jeder Rechnung wieder in die Formel eingesetzt wird. Dies macht man so oft, bis eine gewisse Grenze überschritten wird und zählt die Anzahl der Schritte. Dieser Anzahl wird dann ein Farbwert zugewiesen.
Das Fraktal ist ein "unendliches" Universum, man kann beliebig oft vergrößern, hinein-zoomen, immer wieder findet man ähnliche Formen. Weiters interessant: Viele Formen in der Natur ähneln Fraktalen bzw. sind damit beschreibbar: Blätter, Bäume, Blutgefäße, Wolken, Schneeflocken, ...

Hier geht es zu einer kleinen selbst erstellten Fraktalgalerie.
Dazu wurde die Anwendung Flarium 24, Version 8.9 von Stephen C. Ferguson verwendet.

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