vollkommen selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.

RC plane drive setup wall detector wall detector wand detektor Inhaltsverzeichnis

Teil I
Einleitung

Neben der gewollten Kommunikation über und durch Fassaden gibt es auch die zu unterdrückende Kommunikation durch Fassaden wie WLAN, DECT, Analog-Monitorkabel oder sogar absichtlich versteckte Sender.

Um die abschirmende Wirkung von Betonwänden abschätzen zu können, ist Wissen um die elektrischen Eigenschaften nötig. Die Schirmwirkung von Betonwänden geht vornehmlich auf den im Beton enthaltenen geerdeten Stahl zurück, doch auch die Reflexion und die Dämpfung durch den Beton tragen einen Teil bei. Bei Frequenzen über 1 GHz wird die Dämpfung zum maßgeblichen Faktor, zum einen weil es den Wellen leichter fällt, die Armierung zu durchdringen, zum anderen weil die Wirkung der Dämpfung mit der Frequenz zunimmt.

Zielsetzung dieser Arbeit ist es, die elektrischen Eigenschaften von Beton in einem möglichst weiten Frequenzbereich zu bestimmen. Für Frequenzen über 100 MHz ist es üblich, Materialien in Leitern zu vermessen. Hierzu soll eine bereits vorhandene Messzelle koaxialer Bauweise verwandt werden. Zur Anregung und Messung soll ein Time-Domain-Reflectometer (TDR) zum Einsatz kommen, um die S₁₁ Parameter aufzunehmen. In den bisher am „Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik“ der Leibniz Universität Hannover zu dieser Thematik durchgeführten Arbeiten wurde ein VNA genutzt.

Für Steine wird hier eine maximale statische relative Permittivität von 5 angenommen. Wasser hat eine statische relative Permittivität von 81[1]. Beton besteht aus anorganischem Material, Luft und bis 25% (Masse) Wasser[18]. Aufgrund der hohen Permittivität von Wasser und seines hohen Anteils im Beton in Form von Kristallwasser ist davon auszugehen, dass die elektischen Eigenschaften in hohem Maße vom Wasser bestimmt sind.

Während Beton in seinen vielfältigen Ausführungen auf seine mechanischen und chemischen Eigenschaften gut untersucht ist, gibt es zu den elektrischen nur eine geringe Anzahl an Veröffentlichungen. Da sich verschiedene veröffentlichte Daten widersprechen und zum Teil auf den ersten Blick unwahrscheinlich anmuten, wird diese Vergleichsmessung durchgeführt. Es ist ein glücklicher Umstand, dass der mit der vorhandenen Messzelle messbare Frequenzbereich gerade in diesen Bereich steigender Permittivität fiel.

Die Quellenlage auf dem Gebiet der elektrischen Materialparameterbestimmung ist qualitativ bemerkenswert unergiebig. Es gibt zahlreiche Publikationen, aber die Erwartung, nur nach einigen Begriffen suchen zu müssen und eine einzige erprobte Methode zu finden, blieb unerfüllt. Auf der IEEE- USA- Seite gibt es vor allem kurze Publikationen mit einem geringen Konkretheitsgrad.

Die Arbeiten[2, 3] aus dem „Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik“ der Leibniz Universität Hannover nehmen Bezug auf die bereits gefundenen Quellen. Von den in diesen Arbeiten vorgestellten Verfahren zur Bestimmung von Materialparametern kann keines die Materialparameter genau und ohne Ausreißer bestimmen. Daher wurde darauf verzichtet, diese Verfahren zu verfolgen.

Teil II
Bestimmung der Materialparameter

Es gibt keinen Messaufbau, der für alle Frequenzen gleichermaßen geeignet ist. In der Aufgabenstellung ist die Verwendung einer vorhandenen Messzelle vorgegeben. Mit dieser sind keine Messungen nahe 0 Hz möglich, an der statischen Permittivität herrscht jedoch ein besonderes Interesse. Der messbare Frequenzbereich wird bestimmt durch die am Institut vorhandenen Messgeräte und die Probe.

Um die relative Permittivität ϵ für einige Frequenzen bis 100 kHz zu bestimmen, wurde mit einem Plattenkondensator gemessen. Dies ist unter 1.1 beschrieben.

In Kombination mit der koaxialen Messzelle kam zunächst ein Time-Domain-Reflectometer zum Einsatz. Die Bemühungen, mit diesem Aufbau zu einem Ergebnis zu kommen, finden sich unter 2.3. Nachdem sich die Nutzung des TDR (Abkürzungen auf Seite §) als ungeeignet herausgestellt hat, wird es durch einen vektoriellen Netzwerkanalysator ersetzt. Mit diesem ist es möglich, direkt im Frequenzbereich zu messen. Diese Methode führt zu einem zufriedenstellenden Ergebnis (siehe 2.4.3).

Über das Material Beton wurden vorab folgende Annahmen getroffen:

dispersiv:

Von einer enthaltenen Verbindung (Wasser) ist bekannt, dass sie dispersiv ist, außerdem gilt dies für die allermeisten Materialien.

homogen:

Die kürzeste Probenlänge beträgt 74 mm. Sie enthält maximal 16 mm große Kieselsteine. Bei der Plattenprobe wurden die Steine durchgeschnitten. Das TDR bietet keine ausreichende Zeit-/Ortsauflösung, um Unterschiede ausmachen zu können. Der VNA bietet prinzipiell keine geometrische Auflösung.

dissipativ:

Von einer enthaltenen Verbindung (Wasser) ist bekannt, dass sie dissipativ ist, außerdem gilt dies für die allermeisten Materialien.

isotrop:

Da es sich bei den Probekörpern nicht um Einkristalle handelt, sondern die Bestandteile in alle Richtungen ausgerichtet sind, ist dies eine begründete Annahme. Eine Richtungsabhängigkeit ist nur mit dem Plattenkondensator messbar.

unmagnetisch:

Bestimmt enthält Beton Spuren von Eisen, Nickel und Kobalt, diese werden jedoch vernachlässigt. Besondere magnetische Kristalle sind unwahrscheinlich. Diese Annahme vereinfacht die Aufgabe erheblich.

linear:

Diese Annahme wird der Einfachheit halber getroffen und nicht überprüft.

isolator:

Beton hat eine geringe statische Leitfähigkeit, daher war diese Annahme bei niedrigen Frequenzen (100 Hz) nicht haltbar.

stetig:

Es ist kein Material mit unstetigem Verhalten bekannt. Da die Permittivität von Massen abhängt, ist Unstetigkeit vermutlich unmöglich. Während diese Annahme theoretisch anmutet, ist sie von großer Wichtigkeit für diese Arbeit. Nur einer Lösung, die dieser Bedingung für einen weiten Frequenzbereich entspricht, kann Vertrauen geschenkt werden.

1 Bestimmung für niedrige Frequenzen

1.1 Aufbau und Messung mit Plattenkondensator

Durch eine Kapazitätsmessung mit einem Plattenkondensator kann die Permittivität eines Dielektrikums bestimmt werden. Das Dielektrikum trennt hierbei die plattenförmigen Elektroden. Eine Betonplatte wurde am „Institut für Baustoffe“ der Leibniz Universität Hannover (IfB) auf eine Stärke von 17 mm abgeschliffen. Die Maße stimmten mit den Abmessungen eines am Institut vorhandenen Plattenkondensators überein. Dabei handelt es sich um zwei 15 x 27 (cm)² große Kupferplatten mit aufgelöteten Leitungen.

Mit einer Messbrücke für Widerstände, Spulen und Kondensatoren ist es möglich, die Kapazität bei 1, 10 und 100 kHz zu bestimmen.

Das Messgerät lässt auch die Messung bei 100 Hz zu, jedoch liegen bei dieser Frequenz die imaginäre und die reale Leitfähigkeit zu dicht beieinander, und die Widerstände sind zu groß, als dass der Messwert brauchbar wäre. Um die geringe Leitfähigkeit des Kondensators weiter herab zu setzen, wurde ein 80g/m²- DIN A4- Blatt Papier auf einer Seite zwischen die Elektrode und den Beton gelegt. Um die Kapazität zu steigern, wird ein Mehrschichtkondensator von 10 nF parallel zur Platte geschaltet. Mit diesen Modifikationen im Messaufbau ist eine Messung bei 100 Hz möglich.

Neben der Kapazität des Plattenkondensators wurde auch sein Widerstand gemessen. Aus diesem Widerstand kann eine obere Grenze für den spezifischen Widerstand berechnet werden.

Der bei der Messung auf den Kondensator ausgeübte Druck spielt eine wichtige Rolle. Bei Druck verringert sich der Einfluss der seriellen Grenzflächenkapazitäten und Widerstände. Drückt man nicht ausreichend oder ungleichmäßig auf die Platten, ist die gemessene Kapazität zu klein. Der Druck kann einen Faktor von cirka 3 ausmachen.

Die gemessenen Kapazitäten werden mit der Formel (9) für den Plattenkondensator und den Abmessungen zu ϵ_r′ umgerechnet. Die Messung mit Papier und Zusatzkapazität muss um diese Kapazität korrigiert werden, der Einfluss des Papiers wird vernachlässigt.

Die so erreichten Ergebnisse sind mit den anderen in der Tabelle auf Seite § aufgeführt.

1.2 Diskussion und Ausblick

Für die Geometrie des Kondensators wären kreisförmige Platten am besten, da bei diesen der Umfang im Verhältnis zur Fläche am geringsten ist. Für die Größe gibt es kein Optimum, denn für hohe Frequenzen darf der Kondensator nicht zu groß sein. Dies steht im Widerspruch zum Wunsch nach einem möglichst großen Verhältnis von Fläche zu Umfang (U ~ r ; F ~ r²).

Mit zunehmender Frequenz kann die Induktivität der Zuleitung nicht mehr vernachlässigt werden. Dies lässt sich mit dem VNA untersuchen. Hier zeigt sich ohne weitere Bauelemente eine Resonanz bei 15 MHz. Der Messbereich des Brückenmessgerätes endet bei 100 kHz.

Um die Lücke von 1 MHz bis 100 MHz zu schließen, sollte zunächst die
Plattenkondensator-Methode verfeinert werden. Mit dem VNA können auch Netzwerke gemessen werden. Es wird nicht ausreichen, das Messobjekt als idealen Kondensator anzunehmen. Stattdessen muss ein Netzwerk angenommen werden (L-(C|R)). Der Aufwand für die Anfertigung von zwei neuen runden Platten sollte in Kauf genommen werden. Um den Beton gut mit den Platten zu kontaktieren und die Ausführung möglichst dünn zu halten, sollte versucht werden, ihn zwischen die Platten zu gießen.

2 Bestimmung für hohe Frequenzen

2.1 Messzelle

2.1.1 Beschreibung

Die Messzelle ist ein mit Luft gefüllter koaxialer kurzgeschlossener Leiter mit 50 Ω Wellenimpedanz. Der Innenleiter ist 10 cm im Durchmesser, und der Außenleiter hat einen Durchmesser von 23 cm. Zwischen ihnen befindet sich 6,5 cm Luft oder Beton. Der Bereich von konstantem Abstand zwischen Innen- und Außenleiter ist 37 cm lang und endet auf der Kurzschlussplatte.

Zur Bewertung der Messergebnisse mit Beton wurde die Zelle ohne Füllung in einem weiten Frequenzbereich vermessen. Es zeigten sich bei der Messung mit der TDR-Methode ohne und mit Beton äußerst unerwartete Ergebnisse. Der TDR-Sprung wurde durch Aufnahme desselben als Reflexion am Kalibrierungskurzschluss vermessen. Durch Normierung/Rückgängigmachung der Faltung mit der Erregung im Frequenzbereich wurde die allgemeine Antwort des Systems bestimmt. Idealerweise antwortet die leere Messzelle mit der negierten Erregung, also einer -1 im Frequenzbereich oder einem -δ-Impuls im Zeitbereich.

2.1.2 Diskussion

Die Messzelle zeigt auch ohne Beton eine ausgeprägte Charakteristik. Manche Frequenzen sind im TDR-Ergebnis fast ganz ausgelöscht und andere sogar verstärkt (Abb. 2 auf der vorherigen Seite und Abb. 5 auf Seite § )! Diese Dynamik war unerwartet und führte zur Abkehr vom TDR. Die VNA-Messung der leeren Zelle ergab ein deutlich glaubwürdigeres Ergebnis, das Übereinstimmungen mit dem Ergebnis der TDR-Methode zeigte.

Aus den Messungen ergibt sich ein Dämpfungsmaximum um 1,7 GHz, ein geringeres bei 964 MHz und eine obere Grenzfrequenz von 2,5 GHz.
Überschlägig ergibt sich die obere Grenzfrequenz von f_grenz = = 2,3GHz. Diese fällt mit dem ersten vom VNA gemessenen Einbruch zusammen, ihm folgen weitere mit ca. 140 MHz Abstand.

Wenn ähnliche Messungen wieder durchgeführt werden, sollte eine Zelle von kleinerem Durchmesser erstellt werden, um höhere Frequenzen zu erreichen und/oder eine längere für niedrige Frequenzen (siehe Abb. 3 auf Seite §). Um von 2 GHz bis 6 GHz messen zu können, ist ein Innendurchmesser von 2 cm zu wählen. Für ein Material wie Beton lässt sich die Größe des Probekörpers nicht beliebig verkleinern. Beton ist eine Mischung aus verschieden grobkörnigen Anorganika. Wenn diese nicht weiter zerkleinert / homogenisiert werden, sollte die Probengröße ein Vielfaches des geometrisch größten Bestandteiles sein. Die Größe der Kieselsteine wird also für die meisten Betonarten der begrenzende Faktor sein. Moderne hochfeste Betone enthalten keine Kieselsteine und können fast beliebig klein gegossen werden. Für gängige Betone ist ab 4 GHz über eine Zerkleinerung nachzudenken.

Interessant wäre eine Messung im Bereich von 30 MHz bis 210 MHz, da sich der Verlauf des ϵ_r′ hier umkehrt. Dies geht aus den Ergebnissen und der Annahme der Stetigkeit hervor. Um einen aussagekräftigen Verlauf im Frequenzbereich zu bekommen, muss die Probe > 45 cm lang sein. Der nutzbare Teil der Zelle ist 37 cm lang.

Wird die Probe länger, nimmt die Dämpfung der höheren Reflexionen zu und somit die Charakteristik ab.

Es ist ersichtlich, dass es bei Frequenzen unter 200 MHz in dieser Zelle nicht mehr zu starken Auslöschungen kommt und die Dynamik auf 2,4 dB begrenzt ist, wohingegen bei 50 cm Länge 7 dB berechnet werden. Da für über 200 MHz Werte vorliegen, ist eine gute Abschätzung möglich, so dass die Startwerte vorab angepasst werden können, um das Minimum schnell zu treffen.

Bei Messungen in diesem Bereich wird ein ganz praktisches Problem auftreten. Während die hier vorgestellten Probekörper noch von einer Person gehandhabt werden können, wird die Arbeit mit einem 50 cm Probekörper schwierig. Ohne technische Hilfsmittel wird die Probe weder in die Messzelle einzuführen noch aus ihr heraus zu ziehen sein.

2.2 Her-/Vorstellung der Probekörper

Zunächst wurden verschiedene Arten der Herstellung einer Probe eruiert. Prinzipiell wird Beton gegossen, dennoch wurde zumindest darüber nachgedacht, die Probe aus dem Vollen zu drehen. Für diese Methode spricht der Wegfall der Herstellung einer geeigneten Form. Der Verschnitt ist kein nennenswerter finanzieller Aufwand, jedoch entstehen Kosten durch den Verschleiss am bearbeitenden Gerät. Das Schneiden/Fräsen aus einem Ganzen wurde verworfen, da die Probe zu groß ist und das „Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik“ (GEM) der Leibniz Universität Hannover nicht auf die Bearbeitung von Beton ausgerichtet ist.

Für die Fertigung einer Form und das direkte Gießen spricht neben der sich als falsch herausstellenden Annahme eines Wegfallens der Bearbeitung, dass eine Form wieder verwandt werden kann. Die Form und Größe der Probe ist durch die Messzelle vorgegeben und ergibt sich nach Einplanung von Zwischenräumen, um die Probe ein- und ausführen zu können. Bei der Größe der Gussform muss neben diesen Zwischenräumen noch eine Veränderung der Probe über die Zeit bedacht werden. Das meiste Wasser wird fest im Beton gebunden, doch trocknet der Beton je nach Außenbedingungen aus. Der Volumenverlust kann jedoch bei relevanten Größen vernachlässigt werden. Das Wasser wird weitgehend durch Luft ersetzt. Die Probe passte nicht ohne die Entfernung eines Millimeters Oberfläche zurück in die Gussform, genauso wenig in die gleich große Messzelle, obwohl beim Gießen Folie als Abstandshalter vorhanden war.

Desweiteren ist die Trennbarkeit von Form und Probe zu bedenken. Diese ist auf vier Arten realisierbar:

1. Hohe Kraft (Zug/Druck)
2. Trennmittel wie z.B. einige Schichten Alufolie
3. Verformbare Form
4. Zerstörung der Form

Eine Trennung von Form und Probe ist zu umgehen, wenn der Beton direkt in die Messzelle gegossen wird. Dadurch wären aber keine Messungen ohne den Beton mehr möglich, sie müssten also vorher abgeschlossen sein. Eine elastische oder zu öffnende Form würde Trennbarkeit und Wiederverwendbarkeit vereinen.
Es gibt für die koaxiale Messzelle ein zweites Kurzschlusselement. Aufgrund der schlechten Kurzschlussverbindung wurde es nicht für die Messungen verwandt und stand somit als Form zur Verfügung.
Somit war Trennbarkeit ein Problem, das vor allem durch Kraft, gepaart mit Improvisation, gelöst wurde.

Eine doppelte Schicht dünner Plastikfolie stellte sich als schlechte Wahl heraus, weil sie die Trennbarkeit eher verschlechterte und sich Falten bildeten, die sich in die Probe setzten. Eine Plastikfolie muss dick sein, um die nötige Knitterresistenz aufzuweisen, jedoch füllt sie dann schlecht die Ecken. Plastikfolie hat einen hohen Reibwiderstand und klebt am Beton, Alufolie hingegen lässt sich leicht in Form bringen und auf sich selbst und anderen Metallen verschieben.

Trotz identischer Abmessungen passte keine der Proben nach dem Entfernen aus der Form in die Messzelle. So mussten mit Hammer und Meißel die Probekörper in die Messzelle eingepasst werden, was zwangsläufig zu Luftbereichen führte. Bei der ersten Probe stellte sich heraus, dass der Innenleiter der Form nicht ausreichend zentriert war.
Die Form ist für die zweite Probe auf einer Drehbank zentriert worden. Die Plastikfolie, die dafür sorgen sollte, dass die Probe kleiner wird als die Form, hatte sich während des Aushärtens in der Probe festgesetzt, was zum Verlust einiger Randbereiche führte. Zuviel Wasser hatte die Probe zudem porös gemacht. Deshalb degenerierte sie im Laufe folgender Impulseinwirkung (Trennung) zunehmend. Die schadhaften Stirnflächen an der zweiten Probe wurden am „Institut für Baustoffe“ (IfB) abgeschnitten, um eine zweite kürzere Probe mit glatten Flächen zu erhalten.

Die elektrischen Eigenschaften von Beton sind weitgehend durch das in ihm gebundene Wasser bestimmt.

Wenn von Feuchte bei Beton die Rede ist, ist das ungebundene Wasser gemeint, das wie in der Luft auch im Beton vorhanden ist. Über diesen geringen Wasseranteil hinaus besteht der Beton selber jedoch aus fest eingebautem „Kristallwasser“. Dieses verlässt den Beton außer z.B. im Brandfall nicht.[18, 2]

Die 94 mm Probe besteht aus einem besonderen Beton, es handelt sich um selbstverdichtenden Beton.
Die 70 mm Probe und die Platte bestehen aus Beton der Betonfestigkeitsklasse C35/45 mit Zuschlag-Größtkorn 16 mm und dem Zusatzmittel „Glenium 51“.
Das Rezept sieht 184 Liter Wasser je m³ Beton vor, jedoch wurde anteilig deutlich mehr zugesetzt, um den Beton in einem Eimer von Hand rühren zu können. Die vorgesehene Festigkeit wird nicht erreicht. Vor dem Härten und Trocknen lag der Wasseranteil bei etwa 12% (Masse).

2.3 Messung der Materialparameter im Zeitbereich

2.3.1 Aufbau (TDR)

Der Versuchsaufbau besteht aus dem Hewlett Packard 54121A & 54120B Time-Domain-Reflectometer, der 23 cm Durchmesser koaxialen Messzelle und einem 150 cm langen Kabel (siehe auf Seite § ). Da das TDR sehr steilflankige Impulse erzeugen kann, muss ein sehr gutes Kabel verwandt werden, wenn diese ausgenutzt werden sollen. Der Anregungsimpuls hat eine Anstiegszeit von 40 ps. Das entspricht einer oberen Frequenz von 12,5 GHz. Dies konnte per Aufnahme an einem Kurzschluss und anschließender FFT bestätigt werden. Das TDR ist ein digitales Speicheroszilloskop. Die Samplingeinheit erlaubt die Messung bis 20 GHz. Das Gerät speichert und zeigt 500 Abtastwerte. Diese sind, soweit kontinuierlich und equidistant, beliebig verteilbar.

Eine genaue Beschreibung des TDR findet sich in [4]. In jener am Institut (GEM) entstandenen Arbeit sind auch die dynamic link library und das MatLab-Skript entstanden, mit denen die Daten ausgelesen werden.

Da die Aufgabenstellung dieser Arbeit eine Auswertung der Zeitdaten vorsieht, werden die Daten per MatLab eingelesen und weiter verarbeitet. Die kurzzeitige Erregung des TDR hat den Vorteil, dass sich keine Resonanzen oder stehenden Wellen ergeben können. Im Zeitbereich lässt sich das Messergebnis sofort auf Plausibilität und Güte untersuchen.

Aus den Zeiten zwischen den Reflexionsereignissen läßt sich grob auf den Bereich der Permittivität (ϵ′) schließen (Einfluß auf Ausbreitungsgeschwindigkeit). Selbst aus der Höhe der Reflexionsstufen lässt sich für kleine (<10) Epsilon auf das Epsilon schließen (Einfluß auf Reflexionsfaktor, aber von Wurzelfunktion in Summen).

Die Steigung der Reflexion (Formel 4) ist:

Daher sind nur kleine ϵ_r′ auf diese Weise unterscheidbar.

2.3.2 Vom Zeitbereich in den Frequenzbereich

Zielsetzung dieser Arbeit ist es, die Permittivität (ϵ) über einen weiten Frequenzbereich frequenzabhängig festzustellen. Die Messwerte müssen daher aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert werden. Hierzu dient die diskrete Fouriertransformation (DFT).
Prinzipiell ist die DFT nur zur Analyse von periodischen Signalen zulässig. Darüber hinaus gibt es noch weitere Einschränkungen, denn das diskretisierte Intervall muss der Periode entsprechen.

Das TDR erzeugt eine periodische Anregung. Jedoch war die Periode gegenüber dem zu messenden Ereignis derart lang, dass nicht genügend Messwerte zur Verfügung standen, um diese Periode zu nutzen. Die Rechteckschwingung kann im Kiloherzbereich eingestellt werden. Die 500 Messwerte müssen auf die Sprungantwort verteilt werden. Somit ist das gemessene/aufgenommene Signal im Gegensatz zum vermessenen nicht periodisch. Um das Signal auf seine Frequenzanteile zu untersuchen, muss ein Weg gefunden werden, die Bedingungen zumindest näherungsweise zu erfüllen. Die Bedingungen sind:

• periodisch
• Abtastperiode entspricht Periode (leakage) oder einem ganzen Vielfachen (erzeugt Nullstellen im Spektrum)
• Abtastrate erfasst relevanten Frequenzbereich ω →∞ (alialising)
• Abtastdauer erfasst relevanten Frequenzbereich ω → 0 (spektrale Auflösung).

Um die beiden erstgenannten Bedingungen näherungsweise zu erfüllen, wird üblicherweise das Signal im Zeitbereich mit einer Fensterfunktion (z.B. Hamming) herausmultipliziert. Dies erzwingt Nullstellen an den Rändern des betrachteten Bereiches und begrenzt die Dauer auf die zu betrachtende Periode. Diese Multiplikation verändert nicht nur den Zeitbereich, sondern auch den Frequenzbereich und erzeugt somit ein verfälschtes Ergebnis. Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich. Somit ist die Bandbreite der Fensterfunktion für die Unschärfe des Ergebnisses entscheidend.
Da die Fensterfunktion die Grundperiode bestimmt, ist die Unschärfe immer größer als diese.

Um Sprungstellen zu vermeiden, wurde auf der Annahme eines linearen, zeitinvarianten, kausalen Systems die Ableitung der gemessenen Zeitfunktion weiter verarbeitet. Für ein solches System gilt, dass die Ableitung der Antwort auf die Sprungfunktion der Impulsantwort entspricht. Die Ableitung der zeitdiskreten Werte wurde durch Differenzbildung mit dem MatLab-Befehl diff() [6] angenähert.

Da das Signal nun mit Null beginnt und auf Null endet, kann ein Verfahren zur Annäherung an eine Fourier Transformation(FT) angewandt werden. Bei diesem ’zero-padding’ erweitert man den Zeitbereich mit Nullen, um die Periode künstlich zu erweitern und das Ergebnis der DFT somit zu strecken. Die Frequenzauflösung nimmt zu, die Information im Zeitbereich nicht.

Wenn man den Zeitbereich auf diese Weise auf die nächste Länge von 2ⁿ Abtastwerten erweitert, kommt als zusätzlicher Gewinn die Anwendbarkeit der Fast Fourier Transformation (FFT) hinzu. Die FFT benötigt zwar mehr Speicher, aber skaliert deutlich besser. Hier ist 2¹² = N = 4096. Mit dem intel Pentium der ersten Generation ergaben sich keine Wartezeiten.

Da im Zeitfenster der Messung immer nur ein Ereignis lag, waren die niedrigen Frequenzen deutlich ausgeprägt. Dies ist unabhängig von der Dauer der Messung oder der Abtastperiode (siehe Seite §).

Die Amplituden der DFT haben ohne Normierung auf die Erregung und den zeitlichen Abtastbereich für kleine Frequenzen keine Bedeutung. Dafür muss die Erregung mit den gleichen Einstellungen gemessen werden. Dies ist schon aus rechentechnischen Gründen sinnvoll, da sonst die Daten vor der DFT angepasst (Interpolieren und Abtasten) werden müssten, was eine weitere Anpassung der Amplituden nötig macht (Ähnlichkeitstransformation).

Nachdem gemessen worden war, dass die Erregung des TDR kaum bis 15 GHz reicht und die Eigenschaften der Zelle bei hohen Frequenzen jede Messung dominieren, wurde eine Samplingrate von 50 GSamples/s (siehe Funktionsweise des TDR[4], um diesen Wert korrekt zu deuten) festgelegt. Diese bietet genügend Sicherheit gegen Unterabtastung (alialising).
Bei dieser Abtastrate speichert das Oszilloskop eine Dauer von 10 ns. Es ist aus der Dauer des Vorganges ersichtlich, dass mit diesem Aufbau keine Ergebnisse für unter 100 MHz möglich sind (siehe auf Seite §). Die gemessenen Ereignisse dauern nicht länger als 7 ns ( = 6ns), was weitere 3 ns für das Einfließen der verbleibenden Welligkeit nach den ersten vier Reflexionen belässt.

Die FFT der Zelle mit Probe wird durch die FFT des Kalibrierkurzschlusses geteilt (skalar) und somit das Spektrum der Zelle gewonnnen. Das so gewonnene Spektrum weist Frequenzen mit einem Übertragungsverhältnis von über eins auf. Außerdem verfällt es oberhalb von 2,5 GHz in eine hohe Dynamik.

Vermutlich besitzt der zur Kalibrierung verwandte Kurzschluss selber eine zu hohe Dämpfung, so dass er die Zelldämpfung gleich mit herauskalibriert. Dies konnte mit dem VNA nicht überprüft werden. Die Messergebnisse unterschieden sich von Messung zu Messung.

Im Folgenden wurde die Zelle nun mit einem vektoriellen Netzwerkanalysator direkt im Frequenzbereich gemessen. Erstaunlicherweise zeigten sich Übereinstimmungen mit den TDR-Daten. Die VNA Messwerte waren jedoch eindeutig die besseren (siehe Abb.2 auf Seite §).

Bevor die Messungen mit dem VNA gemacht wurden, war das Verfahren an einer Antenne mit bekannten Eigenschaften getestet worden. Das TDR kommt am „Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik“ gelegentlich zum Einsatz, um Verbindungen zu Antennen zu prüfen. Das zum Test der beschriebenen Methode entwickelte MatLab-Skript kann nun verwandt werden, um mit nur einer Messung und Kalibrierung die im Zeitbereich erkennbaren Reflexionen und die Anpassung auf Frequenzen zu prüfen.
Ein weiterer Vorteil ist die Erregung und Auswertbarkeit von Frequenzen jenseits der per VNA verfügbaren 8 - 12 GHz.

2.4 Messung der Materialparameter im Frequenzbereich

2.4.1 Aufbau (VNA)

Um den S₁₁ Parameter zu messen, wurde ein vektorieller Netzwerkanalysator der Firma Rohde & Schwarz mit der Produktbezeichnung "ZVC 1127 8600" verwandt. Mit der angeschlossenen Messzelle wurde eine Eintor- S₁₁- Messung vorgenommen. Sowohl die Messzelle als auch der VNA verfügten über N-Stecker. Sämtliche verwandten Kabel waren Koaxialkabel (50 Ohm). Es wurde mit dem Kalibriersatz von Rohde & Schwarz (Anhang auf Seite §) auf das Kabelende kalibriert. Somit lag der Phasenbezugspunkt am Eingang der Zelle.

2.4.2 Frequenzweise Bestimmung der Permittivität

Um eine frequenzabhängige Permittivität zu erhalten, wird die Ausbreitung in der Zelle mathematisch im Frequenzbereich mit der Formel (6) modelliert. Abbildung 7 stellt die Ausbreitung zwischen der Luft-Beton- und der Beton-Metall-Grenzfläche dar. Für den Metallhalbraum wird eine verlustlose Reflexion angenommen.
Die Gleichung ist weder analytisch lösbar noch eindeutig. Aufgrund der in ihr enthaltenen Summen von e-Funktionen handelt es sich um eine nichtlineare Gleichung. Sämtliche gesuchten Werte befinden sich auch in den Exponenten der e-Funktionen. Mathematisch ist die Vieldeutigkeit durch die Ähnlichkeit der exp() bzw. ln() mit der Modulofunktion zu erklären: angle(e^(ix)) ist wie angle(x)%2π.

Somit gibt es beliebig viele Lösungen, solange es nur eine Gleichung gibt. Die gesuchten Werte hängen von der Frequenz ab, und pro Frequenz gibt es so viele Messwerte / Gleichungen wie Proben.

Mit den Reflexionsdaten pro Frequenz und der Zelle als Reihe von der Frequenz stehen beide Seiten einer Gleichung von der Permittivität bereit. Nun kann ein Algorithmus das Modellergebnis mit den Messwerten in Übereinstimmung bringen (implizite Lösung). Zunächst wurde unter der Annahme der Stetigkeit, ausgedrückt in der Herkunft der Startwerte der Numerik, versucht, die beiden Seiten der Gleichung durch das Finden geeigneter Werte für die komplexe Permittivität für jede einzelne Frequenz in Übereinstimmung zu bringen. Auf diese Art konnten ausschließlich Triviallösungen gefunden und „verfolgt“ werden.

Diese Scheinlösungen sind daran zu erkennen, dass ihre Steilheit zu groß ist, um eine physikalische Lösung zu sein. Ein ϵ_rS^′ > 30 ist unwahrscheinlich. Bei einem maximalen Wasservolumenanteil von 25% [18, 17] und ϵ_rS^′≈ 5 für den Rest ergibt sich eine obere Abschätzung von ϵ_rS^′ < 24. Abhängig vom betrachteten Frequenzbereich durchkreuzen andere Triviallösungen den realistischen Bereich (siehe Abb. 8 und Abb. 9).

Nachdem zwei unterschiedliche Proben zur Verfügung standen und eine Visualisierung des Fehlers bzw. der Abweichung von Modell zu Messung keine klaren Lösungen zeigte, wurde versucht, die Abweichungen der Proben zu kombinieren, um ein eventuell vorhandenes Lösungsmuster hervorzuheben. Dies zeigte sich nicht.

Die Betrachtung der Differenz von Modell und Messung für einzelne Frequenzen ist nicht zielführend, da es lokal keine ausreichende Übereinstimmung von Messwert und Modellwert gibt. Der Einfluss der Zelleneigenschaft ist größer als der durch falsche Parameter entstehende Fehler. Somit war es nicht möglich, für jede Frequenz eine einzelne Lösung (in diesem Fall eine komplexwertige Permittivität, ausgedrückt durch zwei Skalare) bestimmen zu lassen.

2.4.3 Algorithmus zur Bestimmung der Permittivität

Nachdem sich die Methode der lokalen automatischen Anpassung per Numerik als ungeeignet erwiesen hat, wurde manuell eine Suche nach geeigneten Zell-Modellparametern (Lösung) durch Vergleich des Betrages von Modell und VNA-Messung durchgeführt. Dies führte zur Übereinstimmung und vermied das Problem der Mehrdeutigkeit. Iterativ wurde immer wieder ein Modellergebnis mit angepasstem ϵ_r′ und ϵ_r′′über die verschiedenen Messungen gelegt, bis eine gute Übereinstimmung erreicht war.

Zu diesem Zeitpunkt wurde noch mit Messungen aus verschiedenen Frequenzbereichen gearbeitet, da die Grenzen nicht feststanden.

Da sich die Messungen über einen weiten Frequenzbereich erstreckten, musste für das ϵ_r′ als Parameter eine passende Funktion gefunden werden. Zunächst sollten Modellvorhersage und Messung übereinander gelegt werden, um eine grobe Übereinstimmung des Modells mit der Messung herbeizuführen. Die Ursache der Abweichung lässt sich beurteilen, um dann die Startparameter zielgerichtet anzupassen und so schnell zu guten Startwerten zu gelangen. Die genaue Anpassung kann dann der Rechner übernehmen.

Um die oben genannten Probleme zu umgehen, wurden die gesuchten Werte (ϵ) durch Funktionen von der Frequenz ersetzt und die Lösung nach den Parametern der Funktionen durchgeführt. Als Gütefunktion wurde nicht der Fehler für eine Frequenz betrachtet (lokal), sondern der Fehler über den gesamten Frequenzbereich (global), für den Messwerte vorlagen. Anstatt wie zuvor für jede Frequenz eine Lösung unter Annahme der Stetigkeit der Lösungen zu suchen, wurde gleichzeitig für alle Frequenzen eine Lösung für die Parameter der Permittivitätsfunktion gesucht, nicht für ϵ_r′ und ϵ_r′′ direkt.

Die Annahme der Stetigkeit des ϵ_r stellt eine wichtige Einschränkung dar und wird durch die Wahl einer stetigen Lösungsansatzfunktion erfüllt bzw. erzwungen.
Um nach wenigen Parametern suchen zu müssen und zur schnellen Auswertbarkeit der Funktion, werden Geraden gewählt.
Der Geraden-Ansatz ergibt einen Verlauf für das Modell, der mit der Messung verglichen Bereiche hoher Abweichung aufweist. Diese Abweichungen werden bei einer dynamischeren Ansatzfunktion direkt in die Lösung eingehen. Solche Abweichungen zwischen Lösung und Messung müssen weitgehend erhalten bleiben. Der Erhalt dieser Abweichungen ist gewollt, weil sie auf Störeinflüsse wie die Zelle zurückgehen und nicht auf die Materialeigenschaft. Hierin ist auch die Wahl einer nichtquadratischen Fehlersumme als Gütemaß begründet. Durch den verwandten Geraden-Ansatz haben Messwerte aus Frequenzbereichen mit vom Modell abweichendem Verhalten keinen direkten Einfluss auf das Ergebnis. Ein solcher Bereich befindet sich in Abb. 10 auf Seite § bei 2 GHz für die kurze Probe.

Diese Vorgehensweise hat zur Folge, dass nach mindestens 4 Werten gelöst werden muss anstatt von zwei wie zuvor. Der numerische Algorithmus wird jedoch nur einmal aufgerufen und nicht wie zuvor für jede Frequenz.

Es wurde die Matlab-Funktion fsolve() [6] benutzt, um nach Lösungen zu suchen. Ein Sekanten-Verfahren wäre eine Alternative. fsolve() wurde mit der Option "NonlEqnAlgorithm" = "lm" ausgeführt, die das Levenberg-Marquardt-Verfahren erzwingt. Das Levenberg-Marquardt-Verfahren ist eine Erweiterung des Newton-Verfahrens und erzwingt eine Verbesserung in jedem Schritt, kann daher lokale Minima nicht überwinden, konvergiert aber zuverlässig. [6, 7]

2.4.4 Diskussion

Als Funktion für das ϵ_r(f) wurden jeweils zwei Geraden gewählt. Zwei stetige Geraden lassen sich mit drei Werten beschreiben, was dem Lösungsalgorithmus für ϵ_r′ und ϵ_r′′ folglich 6 Stellmöglichkeiten zumutet. Mehr ist nicht sinnvoll, es gibt schon mit weniger Freiheitsgeraden reichlich Lösungen. Jede zusätzliche Komplexität stellt Freiheiten bereit, die zu physikalisch unsinnigen Ergebnissen führen können. Aufgrund der genannten Probleme wurde auch hier wieder versucht, das Vorhandensein von zwei unterschiedlich langen Proben zu nutzen. Da sich für unterschiedliche Längen auch unterschiedliche Minima und Maxima ausbilden, sollten sich die Proben ergänzen und Fehler besser herausmitteln. Es wird verhindert, dass der Algorithmus gegen eine unphysikalische Lösung strebt, die zwar einem Verlauf bestens folgt, aber hierzu die Mehrdeutigkeiten zu flexibel einsetzt.

Die Güte des Ergebnisses ist von den Startwerten abhängig. Es muss "Hand angelegt" werden, um ein gutes Ergebnis zu bekommen. Der Nutzen der Numerik liegt in der Berechnung der 3. Stelle und der zwangsläufig mit ihrer Nutzung entstandenen Bewertungsfunktion. Je nach Ansatzfunktion und gewünschter Genauigkeit kann auch ganz auf Numerik verzichtet werden. Da der Newton-Algorithmus nicht mit natürlichen Zahlen arbeitet, muss die Lage des Knickpunktes der beiden Geraden manuell optimiert werden, außer es wird auf diese Möglichkeit verzichtet. Ob dies ohne nennenswerte Verschlechterung des Ergebnisses möglich ist, hängt vom tatsächlichen Verlauf der Permittivität (ϵ) ab. Für den in dieser Arbeit vermessenen Stoff und Frequenzbereich ist davon abzuraten (siehe Tabelle Seite § für das ϵ_r^′′).

Wenn hier von Lösungen gesprochen wird, ist dies nicht im analytischen Sinne gemeint, sondern im Sinne von Minima. Eine analytische Lösung ist wie oben beschrieben aus verschiedenen Gründen weder möglich noch sinnvoll. Der Verlauf des bestimmten ϵ_r stimmt nicht mit dem tatsächlichen Verlauf überein. Der tatsächliche Verlauf ist natürlich nicht gerade. Bei einer Änderung von ca 10% pro Frequenzdekade und einem nicht zu beziffernden Messfehler ist die Mittelung mit zwei Geraden pro Dekade gerechtfertigt.

Für eine Angabe der Genauigkeit müsste ein Eichmaterial vermessen werden, das ähnliche elektrische Eigenschaften wie Beton hat. Eine Vergleichsmessung an Wasser ist naheliegend, doch die Vergleichbarkeit der Genauigkeit ist nicht garantiert, denn letztere ist vom Messbereich abhängig.

Neben anderen Ansatzfunktionen können auch andere Abweichungsgewichtungen zum Einsatz kommen. Hier wird eine lineare Abweichung genutzt, aber Quadrate oder Wurzeln sind nicht prinzipiell ausgeschlossen.

Bevor dieses Verfahren Verbreitung findet, sollte es an einem bekannten Material getestet werden. Die hier bestimmten Werte sind jedoch glaubhaft.

3 Algorithmus zur Extraktion der Permittivität als Pseudo-Code

Im Kapitel 2.4.3 wurde die Funktion des entwickelten Algorithmus bereits innerhalb des Textes beschrieben. Im Anhang A sind die MatLab-Skripte enthalten. Da beide Darstellungen auf ihre Art dem schnellen Verständnis im Weg stehen, ist in diesem Kapitel eine Beschreibung mit den Vorteilen aus beiden Darstellungen gegeben.

Erzeuge zwei globale Vektoren für die Messwerte.

Erzeuge eine globale Variable für den Index des Knickpunktes, des gewählten Geradenansatzes, setze Wert.

Lade die Messwerte der Proben in die zugehörigen Vektoren.

Rufe den Optimierungsalgorithmus mit den Parametern der Ansatzfunktion als zu optimierende Kostenfaktoren auf.

Nun ruft der Optimierungsalgorithmus einige Male pro Iteration die Bewertungsfunktion auf.

Bewertungsfunktion:

Berechne die momentane Schätzung der Permittivität für eine Frequenz.

Berechne die Modellantwort bei dieser Frequenz und Permittivität.

Bilde die absolute Differenz zwischen Modell und Messung für diese Frequenz.

Summiere Differenzen für alle Frequenzen.

Summiere Differenzsummen aller Proben.

Liefere Gesamtsumme an Optimierungsfunktion.

Von Hand muss nach einem Knickpunkt gesucht werden, für den der Optimierungsalgorithmus eine besonders gute Lösung findet. Daher muss der obige Ablauf mehrfach systematisch wiederholt werden.
Bei einer anderen Ansatzfunktion kann dies entfallen.

4 Ergebnisse der Parameterbestimmung

Während die Werte für das ϵ_r′ weitgehend von der Probe bestimmt sind, konnte die Wirkung der Dämpfung nicht nach Messzelle und Probekörper getrennt werden.

Die hier angegebenen Werte für das ϵ_r′′ sind als obere Grenze zu verstehen.

Für den Bereich unter 200 MHz liegen keine Werte für die Dämpfung vor. Es konnte jedoch eine untere Grenze für die statische Leitfähigkeit σ_s bestimmt werden.

Permittivität
Frequenz	ϵ r′	ϵr′′
100 Hz	14,2	k.A.
1 kHz	10,7	k.A.
10 kHz	8,2	k.A.
100 kHz	7,0	k.A.
200 MHz	5,16	0,675
600 MHz	5,24	0,666
1000 MHz	5,32	0,657
1400 MHz	5,4	0,648
1800 MHz	5,48	0,69
2200 MHz	5,58	0,843
2500 MHz	5,65	0,955
200 - 1662,5 MHz	5,162933+	0,675235-
1662,5 - 2500 MHz	5,104830+	0,0946+

Es sei an dieser Stelle noch einmal angemerkt, dass die Messzelle im Bereich 1,6 - 2 GHz eine erhöhte Dämpfung hat und die besonders bei der Dämpfung eingehende Knickfrequenz bei 1,66 GHz ist.

Mit den hier angegebenen Geraden lassen sich für die Permittivität viele Nachkommastellen berechnen, diese haben jedoch kaum Bedeutung und können ohne Verlust auf zwei gerundet werden. Die Nachkommastellen sind angegeben, um Mehrfachrundung zu vermeiden und zu zeigen, dass es sie gibt. Dies sind die numerisch berechneten genauen Werte und können als Grundlage für nachfolgende Arbeiten genommen werden.

Teil III
Zusammenfassung

Ziel der Arbeit war die Bestimmung der komplexen Permittivität von Beton zur Verwendung in Modellen zur Abschätzung der Schirmwirkung von Stahlbetonwänden. Eine 50 Ω koaxiale Messzelle mit einem Durchmesser von 23 cm stand zur Verfügung. Die Aufgabenstellung sah zunächst die Verwendung des TDR vor. Die Idee war, aus der ersten Reflexion auf die Permittivität zu schließen. Nachdem die erste Probe zur Verfügung stand, wurde schnell ersichtlich, dass die Reflexionen zu kurz aufeinander folgten, um sie getrennt betrachten zu können.

Aus der Laufzeit zwischen den Reflexionen und der Höhe der ersten Reflexion konnte jedoch eine erste Abschätzung für das ϵ_r′ gewonnen werden.

Nachdem bekannt war, dass die Probe eine beträchtliche Länge haben müsste, um Reflexionen einzeln betrachten zu können, wurde ein Modell der Zelle aufgestellt, das die ersten vier Reflexionen beachtete. Die TDR-Messungen zeigten, wie viele Reflexionen mindestens betrachtet werden müssen. Die vierte Reflexion ist noch zu sehen, die fünfte ist mit gutem Gewissen zu vernachlässigen, da nun die meiste Energie mit den anderen Reflexionen entwichen ist und die Dämpfung genug Strecke zur Verfügung hatte, um zu wirken. Die Messergebnisse für die Dämpfung sind mit dem größten Fehler behaftet, da die Zelle selber bereits eine Dämpfung hat.

Die Dämpfung der Zelle hätte bei der Modellbildung einfließen müssen, dazu hätten jedoch die Ursachen genau bekannt sein müssen. Die einzige Möglichkeit, die ernsthaft in Betracht gezogen wurde, war, der Bodenplatte die gesamte für die Zelle gemessene Dämpfungseigenschaft zuzuweisen.

Die mit dem TDR gewonnenen Daten wurden in den Frequenzbereich transformiert. Ein Algorithmus für die Lösung nichtlinearer Gleichungen sollte nun unter Verwendung der Lösung der vorherigen Frequenz als Startwert für jede Frequenz ein ϵ so bestimmen, dass sich eine maximale Übereinstimmung mit dem Modell ergibt. Für einige Startwerte ergaben sich tatsächlich brauchbar aussehende Kurven, bei näherer Betrachtung zeigte sich jedoch, dass diese für niedrige Frequenzen viel zu hohe und für hohe Frequenzen viel zu niedrige ϵ′ ergaben.

Da die TDR-Messungen für einige Frequenzen ein Übertragungsverhältnis von
über 1 ergaben, musste an dem Ergebnis im Frequenzbereich gezweifelt werden.

Messungen mit dem VNA zeigten eine stetig mit der Frequenz zunehmende Dämpfung, sonst waren qualitative Übereinstimmungen mit den TDR-Daten zu finden.

Da die VNA-Daten detaillierter und offensichtlich besser waren, wurde das TDR nun nur noch zu Laufzeitmessungen genutzt.

Visualisierungen des Lösungsgebietes (Differenz zwischen Modell und Messung über Frequenz und ϵ Abbildung auf Seite §) zeigten schwächer ausgeprägte Regelmäßigkeiten, denen der Algorithmus nicht folgen konnte. Da zu diesem Zeitpunkt der Arbeit zwei unterschiedlich lange Proben zur Verfügung standen, wurde untersucht, ob sich diese Regelmäßigkeiten hervorheben lassen, wenn man die Abweichungen für beide Proben kombiniert.

Um das Modell zu überprüfen, wurden geschätzte Werte eingesetzt und das Ergebnis mit den Messungen verglichen. Hierzu wurden der Betrag der Reflexion über die Frequenz aufgetragen und die entstandenen Graphen verglichen. Da hierbei schnell eine gewisse Übereinstimmung mit den Messwerten festgestellt werden konnte, wurde der Vergleich zur Methode für die Bestimmung der Parameter erhoben. Mit dieser Methode konnte zwar keine frequenzweise Bestimmung erfolgen, aber es wurde ersichtlich, dass dies mangels Übereinstimmung für einzelne Frequenzen nie möglich gewesen wäre.

Statt dessen wurde der Verlauf für die Permittivität (ϵ) mit zwei Geraden so angenähert, dass die absolute Abweichung von Messung zu Modell für die Gesamtheit der Messwerte minimiert wurde.

Im Verlauf der Arbeit sind drei Hindernisse zu überwinden gewesen:

• Fehler der Messwerte, vor allem für hohe Frequenzen und solche, bei denen es zu destruktiven Überlagerungen kommt. Die Lage dieser Einschnitte ist für die globale qualitative Übereinstimmung sehr wichtig, so dass die Messwerte in ihrer Gesamtheit eine Übereinstimmung mit dem Modell zeigen.
• Auftreten vieler Triviallösungen, die jeden mit wenigen Messwerten bzw. lokal arbeitenden Algorithmus verleiten. Das Auftreten dieser Triviallösungen wurde nicht weiter untersucht. Es handelt sich um über das ϵ_r^′ periodische e-Funktionen.
• Aus der Messung einer Antwort für eine einzige Frequenz kann die Permittivität für diese Frequenz nicht bestimmt werden. Ein und die selbe Antwort kann durch verschiedene ϵ begründet sein.

Es wurde festgestellt, dass Beton nicht mit einem Debye-Modell erster Ordnung modelliert werden kann.

In dieser Arbeit wurde ein einfaches und zuverlässiges (Toleranz gegenüber lokalen Messfehlern) Verfahren zur Bestimmung der Permittivität von unmagnetischen Materialien aus einer Eintormessung an einem Koaxialleiter entwickelt und auf den verbreiteten Werkstoff Beton angewandt.

Dieses Verfahren ist nicht mit dem „Nicolson-Ross-Weir“-Verfahren verwandt und vermeidet/umgeht die Problematik eines Logarithmus einer komplexen Zahl. Dieses Verfahren bietet eine Frequenzauflösung abhängig von der Ansatzfunktion. Daher kann bei schlechten Messwerten oder schmalem Frequenzband darauf verzichtet werden.

Da das Verfahren nicht mit dem NRW-Verfahren verwandt ist, kann es zur Ergänzung bzw. zum Vergleich herangezogen werden.

Teil IV
Anhang

A Skripte (MatLab)

A.1 Aufruf der Optimierung

Dieses Skript startet den Algorithmus und gibt beim ersten Mal die Startwerte (hier auskommentiert).

A.2 Bewertungsfunktion

Hier wird für beide Probekörper die Differenz zwischen den Gleichungsseiten gebildet und in einem Vektor abgelegt. Der Rückgabewert ist die kumulative Summe beider Vektoren.

A.3 Zellantwort

Dieses MatLab-Skript beinhaltet das Modell der koaxialen Messzelle mit Probe und berechnet die ersten vier Reflexionen. m(1) bis m(4) entsprechen den ersten vier Reflexionen. Die Funktion entspricht der Formel 6. Siehe auch Abb.7 auf Seite §.

A.4 Materialmodell

Die folgenden zwei Skripte stellen die lokalen Epsilon bereit. Jedes der beiden Skripte enthält zwei Geraden. Die globale Variable ’ng’ legt dabei fest, aus welcher dieser Geraden das Epsilon bereit gestellt wird. ’ng’ muss von Hand optimiert werden, da sie ein Integerwert bzw. eine ganze Zahl ist.

A.5 Nebenrechnungen

Diese folgenden zwei Funktionen sind Teile des Zellenmodells und wurden zur Verbesserung der Lesbarkeit ausgegliedert. Die Funktionen beschreiben die Ausbreitung im Beton.

Hier die Reflexion:

A.6 Probe

Mit dem folgenden Skript kann der Erfolg der Anpassung begutachtet werden.

A.7 Frequenzweise Suche

Dies ist ein Beispiel für die ersten fehlgeschlagenen Versuche, die Permittivität zu bestimmen.
Die Eindeutigkeit wird durch die Startwerte und den Marquart-Algorithmus erzeugt.

B Formeln & Konstanten

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(8)

(9)

C Geräte

TDR:

Hewlett Packard 54121A & 54120B

Kalibrierwiderstand:

50 Ohm Inv. Nr.: M2571

Messbrücke:

Databridge H.Tinsley Prism 6471, Inv.Nr.:M2030

VNA:

Rohde & Schwarz ZVC 1127 8600

VNA_Kalibriersatz:

Rohde & Schwarz TOSM Calibration Kit N 50 Ohm ZV-Z 21 1085.7099.02 Inv.Nr.: M2466

Kabel:

RG-214 Doppeltgeschirmt 5 GHz ; Rosenberger UTiFLEX UFA 210A 26,5 GHz

D Abkürzungen

DFT:

steht für „diskrete Fourier Transformation“; bei ihr wird im Gegensatz zur FT über die Periode aufgetragen.

FFT:

steht für „fast Fourier Transformation“ und ist eine spezielle DFT, die weniger Multiplikationen ausführt. Die Wiederverwendbarkeit der Produkte tritt in diesem Maße jedoch nur bei Vektoren der Länge 2ⁿ auf.

FT:

steht für „Fourier Transformation“

NRW:

sind die Initialien von Nicolson, Ross und Weir; siehe [8, 9, 3]

S₁₁:

ist ein Wert aus einer Übertragungsmatrix; da in dieser Arbeit nur Eintor-Messungen vorgenommen werden, handelt es sich bei S₁₁ um die gesamte Matrix.

TDR:

steht für „time-domain-reflectometer“; dies ist ein Messgerät, das einen kurzen Sprung generiert und das Antwortsignal aufzeichnet.

VNA:

steht für vektorieller Netzwerkanalysator; dieses Messgerät erzeugt nacheinander monofrequente Schwingungen und misst auf mehreren Ports Amplitude und Phase.

E Quellen

Literatur