Herleitung der Anzahl Seitenflaechen eines 6 D Wuerfels
Ein D Dimensionaler Einheits Wuerfel weist 2 hoch D Eckpunkte auf
Im folgenden sind die Eckpunkte ueber die Basisvektoren ex,ey,ez angegeben :
Bsp: 3 Dimensional
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Dies enstpricht genau der binaeren Codierung von 2 hoch D Zahlen
Dementsprechend besitzt ein Quadrat auch 2 ** 2 Ecken
Verallgemeinerung :
Bsp: Die sechs Flaechen eines 3 D Wuerfels beschrieben ueber die Vektoren dessen
Ecken :
000 100 001
000 000 010
010 101 101
010 100 011
110 110 111
011 001 111
100 111 011
001 101 110
Man sieht: Bei den Seitenflaechen eines 3 D Wuerfels definiert ueber dessen
Ecken, nimmt eine Dimension einen festen Wert 0/1
an.
Dies kennzeichnet die Lage der Flaeche. Waehrend die verbleibenden Werte "variieren"
00 01 10 11
Anschaulich sind dies die Ecken der Begrenzung, im Beispiel der Seitenflaechen.
Damit laesst sich verallgemeinern :
Jedes Variationspaar liefert
2**D/2**d =2**(D-d) Objekte.
************************
Wieviel solcher Variationspaare gibt es nun ?
Beispiel D=4 d=2, v kennzeichnet die variierte Dimension
vv__
v_v_
v__v
_vv_
_v_v
__vv
Das ist die Kombination von d Elementen in D.
Somit gibt es D ueber d Variationspaare.
Und daraus folgt die bekannte Gleichung fuer die Anzahl n einer d dimensionalen
Begrenzung eines D-dimensionalen Koerpers :
*********************
n=D!/d!/(D-d)!*2^(D-d)
*********************
Damit besitzt ein 6 D Hyperwuerfel 240 Seitenflaechen !