JETZT IN KLEINEN SCHRITTEN ZUR PERIODENVERDOPPLUNG Wir machen dabei eigentlich nichts neues, wenn man eine Osszillation zwischen n-Werten als Selbstabbildung nach n Iterationenn betrachtet.. Jetzt also Selbstabbildung nach 2 Iterationen. Anstatt dem Verhulst Polynom p(1) 2 ter Ordnung wie in ANWENDUNG 1 muessen wir jetzt das 2 Schritt Polynom p(2) 4.ter Ordnung verwenden.
Abb.8 stellt diese zur Veranschaulichug fuer a=3.4 dar:

Die blau markierten Schittpunkte sind die "echten" periodischen Attraktoren. Es gibt noch 2 weitere Schittpunkte y=0 und y=y0i. Logisch. Der konstante Attraktor bildet sich natuerlich auch nach jeweils 2 Schritten auf sich selbst ab.
(Alle Polynome werden sich bei yoi schneiden !)
Dass wir diese 2 Schnittpunkte bereits kennen wird noch sehr nuetzlich sei. Denn:

JETZT BERECHEN WIR DIE 2 PERIODISCHEN FIXPUNKTE. ( AM BESTEN MIT MAPLE !!!!)
Das ist formal einfach. Fuer die Schnittpunkte gilt:
p(2)=p(0) oder p(2)-p(0)=0 (Ich schreibe statt p(0) nun doch lieber wieder y, zwecks Verstaednis.)
p(2)-y ist ein Polynom 4 ter Ordnung !
Hoppela da muessen wir also die Nullstelle von einem Polynom 4 ter Ordnung bestimmen !
Aber 2 Nullstellen kennen wir ja schon : 0 und (a-1)/a.
Wir koennen dies zur Bestimmung der Loesung ueber Polynomdivision ausnuetzen.
Die Rechnung "per Hand" ist schon etwas umfangreicher aber durchaus machbar.
Rechenskizze :
- Ausmultiplizieren der Bekannten Nullstellen (y-y1)*(y-y2)
- Polynomdivision (p2-y) / (y-y1)*(y-y2)
- Bestimmung der Nullstellen des reduzierten nun quadratischen Polynoms

LOESUNG 1/2 SIND DIE BERECHETEN DIXPUNKTE DER ERSTEN PERIODENVERDOPPLUNG !
Diese sind wie erwartet alleine von dem Parameter a abhängig.
In Abb 9 sind diesee analytische Loesungen ueber a in die Computersimulation farbig mit eingezeichnet:

Abb.9

Auf relativ einfachem Weg haben wir das Feigenbaumdiagramm jetzt also die erste Periodenverdopplung analyrisch berechnet !

WIR KOENNEN JETZT AUCH ERMITTELN WANN DIE PERIODENVERDOPPLUNG FRUEHESTENS EINSETZEN KANN !
Die beiden Lösungszweige existieren nur wenn der Ausdruck in der Wurzel >0 ist.

Wir bestimmen die Loesungen der Grenze:
a**2 - 2*a -3 =0
a 1/2 = -1 , 3
Fuer a soll ja gelten a>0. Damit ist a=3 die einzige sinnvolle Loesung.

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BEI a=3 TRETEN DIE ERSTEN PERIODISCHEN FIXPUNKTE AUF !
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Nächster Punkt werden die Konvergenzkriterien sein.