EUKLID UND DER PRIMFAKTOREN - SUMMENSATZ
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Besitzen zwei natuerliche Zahlen n1 und n2 keine gemeinsamen Primfaktoren, so besitzt auch die Summe dieser Zahlen:
n3 = n1 + n2 weder mit n1 und n2 einen gemeinsamen Primfaktor !
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Mit diesem Satz laesst sich beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Um was geht es bei Euklids Beweis ?
Die Frage ob es eine groesste Primzahl gibt oder unendlich viele.
Euklid betrachtet ein Primzahlfakultaet+1,
E=prim(i)? +1= 2*5*7...*prim(i)+1
E ist sicherlich groesser als prim(i), dass ich frei waehlen kann
Es gibt zwei Faelle:
a) Die Summe ist eine Primzahl. Dann ist diese Primzahl groesser als prim(i)
b) Die Summe ist eine zusammengesetzte Zahl
Keine der Primfaktoren der Primfakultaet prim(i)? kann E kuerzen, denn es bleibt immer der Rest 1.
Damit muessen die Primfaktoren von E groesser als prim(i) sein.
Das entspricht der Anwendung des Primsummensatzes
Auch ohne zu wissen ob E prim oder nichtprim ist, ist bewiesen:
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Kurz, praegnant, einfach, genial, 325 v.Chr :-)

Mit dem Primsummensatz ist der Beweis noch einfacher formulierbar und verstaendlicher :
Annahme prim(i) sei die groesste Primzahl
Ich bilde zunaechst das Produkt aller Primzahlen P=prim(i)? dann E=prim(i)+1
E kann keinen Primfaktor von P enthalten. Der kleinste NEUE Primfaktor von E muss somit groesser als prim(i) sein.