SUMMENVERMUTUNG IM PASCALSCHEN DREIECK
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Die Differenz zweier Elemente n , n+1 in der p ten Diagonale des Pascalschen Dreiecks ist gleich dem n ten Element
in der (p-1) ten Diagonale.
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Analytische Formulierung

1)
sum(n!/p!/(n-p)!,n=1..m)= -(-m-1+p)/(1+p)*(m+1)!/p!/(m+1-p)!+(p-1)/(1+p)/p!/(-p+1)!

Loesungsskizze mit dem analytischen Mathematikprogramm MAPLE :

In Gleichung 1 bereitet der letzte Ausdruck (-p+1)! Probleme, denn fuer fuer p>1 ist dieser nicht mehr defeniert.
(Fuer p=1 erhaelt man m*(m+1)/2)
Bei einer Vereinfachung von 1) sollte man besser zur Gammafunktion uebergehen

2)
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sum(n!/p!/(n-p)!,n=1..m)=
(sin(Pi*(1+p))*GAMMA(2+p)*GAMMA(m+1-p)+GAMMA(m+2)*p*P i+ GAMMA(m+2)*p^2*Pi)/(1+p)/p/Pi/GAMMA(2+p)/GAMMA(m+1-p) **********************************************************

(Fuer ganzzahlige Argumente p,m gilt GAMMA(p)=(p-1)!)
Fuer ganzzahlige p ergibt sich noch eine weitere Vereinfachung,
denn es gilt sin(Pi*(1+p))=0 fuer p=0,1,2,3 ...
Damit koennen wir den ersten Summanden im Zaehler von 2) zu Null setzen:

3)
summe= (GAMMA(m+2)*p*Pi+GAMMA(m+2)*p^2*Pi)/ (1+p)/p/Pi/GAMMA(2+p)/GAMMA(m+1-p)

Pi, p, GAMMA(m+2) lassen sich im Zaehler ausklammern.
Pi, p und (1+p) mit dem Nenner kuerzen: Damit erhalten wir einen recht handlichen Ausdruck:

4)
summe=GAMMA(m+2)/GAMMA(2+p)/GAMMA(m+1-p) oder diskret

GAMMA(p)=(p-1)! sum(n!/p!/(n-p)!,n=1..m)=(m+1)!/(p+1)!/(m-p)!
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Prima,denn dies entspricht genau der "Summenvermutung"

mittels computergestuetzer Beweisfuehrung gilt somit :

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Die Differenz zweier Elemente n , n+1 in der p ten Diagonale des Pascalschen Dreiecks ist gleich dem n ten Element
in der (p-1) ten Diagonale.
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ANWENDUNG DER PASCALSUMME:
Berechnen sie 5!/3!/(5-3)! - 4!/3!/(4-3)!
Das kann man jetzt im Kopf loesen hehe.
Ich stelle mir beide Summanden einfach als Summe der vorangehenden Diagonale im Pascalschen Dreieck vor.
In dieser Summe kompensieren sich alle Elemente bis auf des letzte von 5!/3!/(5-3!) und daher kann ich die Loesung sofort anschreiben:
5!/3!/(5-3)! - 4!/3!/(4-3)! = 4!/2!/(4-2)! Praktisch gell :-)
Und weils so schoen war das ganze allgemein:
Mit der Summenanschauung auch ganz einfach im Kopf zu loesen:

(n+1)!/p!/(n+1-p)! - n!/p!/(n-p)! = n!/(p-1)!/(n+1-p)!
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Logisch oder ? In Worten wird es wohl klarer:
Die Differenz zweier Elemente n , n+1 in der p ten Diagonale des Pascalschen Dreiecks
ist gleich dem n ten Element in der (p-1) ten Diagonale.

Beispiel Dreieckszahl:
d2(n+1)-d2(n)=n!/1!/(n-1)!=n d2(n+1)-d2(n)=n

Dies kann als Rekursionsformel aufgefasst werden:
d2(n+1)=d2(n)+n oder allgemein:
d(p,n+1)=d(p,n)+d(p-1,n)
(d(a,b) ist natuerlich a ueber b)

So jetzt mal fleissig Pascalsches Dreieck malen und ueberpruefen :-)