PRIMFAKTOREN - SUMMENSATZ
*******************************

Aus dem induktiven Beweis fuer Primfaktoren dreier aufeinander folgender Ficonacci Zahlen folgt unmittelbar:

*****************************************************************************************
S0)
Besitzen zwei natuerliche Zahlen n1 und n2 keine gemeinsamen Primfaktoren, so besitzt auch die Summe dieser Zahlen:
n3 = n1 + n2 weder mit n1 und n2 einen gemeinsamen Primfaktor !

ANWENDUNG 1 :

Aus (S0) folgt :
*****************************************************************************************
Die Summe zweier Brueche die nicht weiter gekuerzt werden koennen und deren Nenner verschieden sind
kann keine natuerliche Zahl sein.
a/b+c/d = (a*d+c*b)/(b*d)
z=(a*d+c*b) kann wegen S0 die Primfaktoren von b und d somit b*d nicht enthalten.
Der Zaehler z laesst sich also nicht mit b*d kuerzen.
*****************************************************************************************

ANWENDUNG 2
Erzeugen von "kleinen" Primzahlen durch Intervallschranke.

INOFFIZIELLE NAMENSKONVENTION : Primfaktorfakultaet kurz Primelfakultaet.
INOFFIZIELE SCHREIBWEISE : Primfaktorfakultaet n? oder n#
DEFINITION :
n ? entspricht n! bei dem alle Faktoren die keine Primzahlen sind zu eins gesetzt werden.
Beispiele:
7? = 2*3*5*7
12?=2*3*5*7*11 (Per Konvention soll in n? n aber stets selbst eine Primzahl sein )

Erweiterte Konvention , die im folgenden nicht verwendet wird :
prim(m) stellt die m te Primzahl dar
Beispiel: prim(4)=7

Grundgedanke
************
In einer Primzahlfakultaet ersetzen wir ein Multipikationszeichen an beliebiger Stelle durch eine Addition

Beispiel:
n?=2*3*5* ...
S=2+3*5* ...

Allgemein (Stufe 1):
n?=A*B,
Dabei sollen die Primfaktoren von A und B alle Primzahlen von 2.bis n bereits enthalten.
(Frage wie koennte man dies formell am besten beschreiben ?)

Uebergang zur Summe:
S=A+B

Aus dem Summensatz S0) folgt, dass S keine Primfaktoren von A oder B enthalten kann.
Da A und B aber bereits alle Primzahlen bis n enthalt muss der kleinste Primfaktor in S also groesser gleich der auf n folgenden Primzahl sein, die wir mit k bezeichnen. Die kleinste NICHT-Primzahl die mit dem Primfaktor k gebildet werden kann waere somit k*k.
Im Beispiel S=2+3*5 muss der kleinste Primfaktor von S also groesser gleich 7 sein.
(Eventuell ist hier das Theorem von Zeckendorf noch hilfreich)
=>
Alle Summen S die kleiner als k*k sind muessen somit Primzahlen sein !

Test fuer 2*3*5
*************
Obere Schranke waere 7*7=49.
Alle Summen die kleiner 49 sind muessen Primzahlen sein

a) S=2+3*5=17 (prim)
b) S=2*3+5=11 (prim)
c) S=2+5*3=17 (prim)
d) S=2*5+3=13 (prim)

Dies gilt auch fuer mehrfache Primfaktoren:
a)
2*2+3*5=19 (prim)
2*2*2+3*5=23 (prim)
2*2*2*2+3*5=31 (prim)
2*2*2*2*2+3*5=47, obere Schranke
... u.s.w