ZUSAMMENFASSUNG :
Wie laesst sich eine spezille Loesung der Verhulst Gleichung finden ?

1) Ich habe versucht die Polynome durch ihre Nullstellen zu beschreiben
2) Dazu habe ich die Schnittstellen mit c=(a-1)/a benutzt und Polynome p'(n) =p(n)-(a-1)/a eingefuehrt
3) Ich habe den einfachsten Fall angenommen, dass die Polynome p'(n) nur eine einzige mehrfache Nullstelle
fuer alle n aufweisen Unter dieser Voraussetzung laesst sich die Verhulst Gleichung loesen.
4) Den Parameter fuer den diese Annahme zutrifft haben wir bereits ermittelt: a=2

Fuer den Parameter a=2 treffen die gestellten Voraussetzungen zu und die Verhulst Gleichung ist loesbar.

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GENAUERE BESCHREIBUNG:
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Wenn es mir gelingt fuer ein spezielles a ein explizites Bildungsgesetz fuer die Polynome zu finden, so habe ich die Verhulst Gleichung fuer dieses spezielle a geloest. Sogar fuer alle Anfangswerte. Fuer a=2 ist dies moeglich:
Dabei habe ich folgendes ausgenuetzt:
Sind alle Nullstellen x0 x1 x2 x3 ...xk eines Polynoms bekannt, so ist auch das Polynom bekannt. Es lautet dann:
c*(x-x0)*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) .... (x-xk) c ist dabei der Koeffizient der hoechsten Potenz.
(Vorsicht es gibt auch komplexe und mehrfache Nullstellen ! Die Schnittpunkte eines Polynoms mit y=0 sind zwar Nullstellen, aber nicht unbedingt alle Nullstellen des Polynoms ) Viel weiss ich ueber die Polynome noch nicht.
Aber zum Beispiel kenne ich den Grad im n.ten Iterationsschritt. Hier eine kleine Tabelle:
(Schritt n / Grad) (0/1) (1/2) (2/4) (3/8) Der Grad g(n) meiner Polynome ist also g(n)=2**n
Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr. Wir haben doch weitaus interessantere Schnittpunkte unserer Polynome gefunden. Naehmlich die n-Schritt Repulsoren. Auf diese Schnittpunkte wuerde ich gerne
meine Betrachtung aufbauen. Also den Schnitt der Polynnome p(n) mit der Geraden (a-1)/a
Also die Gleichung p(n)=(a-1)/a. Das laesst sich Umformen zu p(n)-(a-1)/a=0 Spasseshalber koennte man das auch so formulieren: p'(n)=p(n)-(a-1)/a und p'(n)=0 Je nach Geschmack. Wichtig ist:
Ich betrachte nicht die Nullstellen des Polynoms, sondern deren Schnitt mit (a-1)/a also die Nullstellen von p'(n).
Ich versuche also p'(n) ueber die Nullstellenbetrachtung zu ermitteln. Ist mir dies gelungen, so kenne ich natuerlich auch p(n)=p'(n)+(a-1)/a. Im Folgenden betrachte ich also p'(n) !
Und natuerlich habe ich mir dazu den einfachsten Fall ausgesucht. Der einfachste Fall waere doch, wenn das Polynom eine
einzige mehrfache Nullstelle fuer alle Iterationen n besitzt. Was heisst das konkret ?
Angenommen xp waere diese ominoese mehrfache Polstelle, dann lauteten die Polynome p'(n) (nicht p(n)!):
p'(0)=c(n)*(x-xp)
p'(2)=c(n)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)
p'(3)= c(n)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)
Den Grad in jedem Iterationsschritt kenne ich ja g(n)=2**(n+1)
Juhu ich koennte dann das Polynom p'(n) explizit anschreiben:
p'(n)=c(n)*(x-xp)**g(n)=c(n)*(x-xp)**(2**n)

Und ich kenne dann auch p(n)
p(n)=p'(n)+(a-1)/a
p(n) =c(n)*(x-xp)**g(n)+(a-1)/a ( c(n) kann man erraten :-)
Fuer a=2 treffen alle von mir zuvor gestellten Forderungen zu. Und ich kann bis auf c(n) schon die Loesung angeben:

p'(n)=c(n)*(x-1/2)**g(n), g(n)=(2**n)
c(n) ist der Koeffizient der hoechsten Potenz p(n)=c(n)*x**n+....
Koennte man berechen aber auch erraten indem man versuchsweise einige p(n)-1/2 durch (x-1/2)**g(n) teilt
Das ergibt :
n=1/ -2 =-(2**1)
n=2/ -8 =-(2**3)
n=3/ -128 =-(2**7)
n=1/ -32768 =-(2**15)
Ich rate also mal c(n)= - (2**(2**(n)-1))= - (2**g(n))/2
Damit habe ich die Loesung: p'(n)=-1/2*(2x-1)**g(n), g(n)=(2**n)

Die Gleichung x(n+1) = 2*x(n)*(1-x(n)) hat die Loesung:

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