Primzahlsatz von Wilson :

Satz i)
Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz ii)
Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p keine zusammengesetzte Zahl

Programmcode :

> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od


Programmausdruck

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997


Praktische Einschraenkung durch die Fakultaet
Abschaetzungen ueber deren Groessenordnung :
Beispiel :1986! ist eine Zahl mit 5690 Stellen.
Ersetzen der Fakultaet durch die Gammafunktion fuer eine Abschaetzung.
Sterling Naeherung fuer die Gammafunktion, damit auch fuer die Fakultaet :



Fuer die Stellenzahl bilden wir den Log10(Sterling) und wenden die ln Regeln an :

Testen wir das mal mit 1986! Log10(sterling(1986))= 5686.4.. das passt.
Die Konstanten (etwa 0.4) kann man vernachlaessigen ebenso die beiden negativen Terme.
Es bleibt fuer grosse x die Naeherung
a) log10(x!) etwa x*ln(x)/ln(10)
b) log10(x!) etwa x

In Worten :
b) Die Zahl x! hat in etwa x Stellen
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genauer
a) Die Zahl x! hat etwa x Stellen mal der Stellenzahl von x

Anhaltswerte :

Anzahl der Atome der Erde : etwa 10^51 etwa 42 !
Anzahl der Atome der Sonne : etwa 10^57 etwa 46 !
Anzahl der Atome im Universum : etwa 10^79 etwa 58 !

Etwas Zahlenmystik :
Wilson testet (p-1)! 43,47,59 sind Primzahlen



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Beweis Satz ii)
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Hilfsmittel Primorial (Primzahlfakultaet) :
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Für eine natürliche Zahl n ist das Primorial n# definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich n.
Beispiel : 5#=2*3*5

Hauptsatz 1)

Besitzen zwei natuerliche Zahlen a und b keine gemeinsamen Primfaktoren, so besitzt auch die Summe
dieser Zahlen: s = a + b weder mit a und b einen gemeinsamen Primfaktor !

Satz 4)

Jede Fakultaet k! laesst sich in einen Faktor m sowie ein Primorial p# aufspalten : k! =p#*m,
wobei p der groesste Primfaktor von k! darstellt und m das Produkt der Nichtprimfaktoren. m enthaelt dann in allen Faellen keine Primfaktoren die groesser als p sind.


Satz 2 a)

Bildet man ein Primorial p#, so ist der kleinste Primfaktor von p#+1 groesser als p

Satz 2 b)

Bildet man eine Fakultaet k!, so ist der kleinste Primfaktor von k!+1 groesser als der groesste Primfaktor von k!

Satz 3a)

p(n) sei die n-te Primzahl Wenn p(n)#+1 eine Primzahl ist, dann gilt : p(n)#+1>=p(n+1)
wenn p(n)#+1 keine Primzahl ist, dann gilt : p(n)#+1>=p(n+1)^2

Satz 3b)

p(n) sei die n-te Primzahl und groesster Primfaktor von k ! Wenn k!+1 eine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)
Wenn k!+1 keine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)^2 da p(n+1)>k gilt auch k!+1>k^2 falls k!+1 keine Primzahl ist (und immer fuer k>4)


Teilbeweis Primzahlsatz ii von Wilson :

Satz i)
Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz ii)
Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p keine zusammengesetzte Zahl

Aussage A1 :

p(n) sei die n-te Primzahl. p(n)-1 muss keine Prinzahl sein und ist kleiner als p(n) In (p(n)-1)! ist daher der Primfaktor p(n) nicht enthalten sondern der groesste Primfaktor von (p(n)-1)! ist p(n-1), auch wenn p(n)-1 keine Primzahl ist. (p(n)-1)!=p(n-1)#*m
Satz 4)
Auch in m kann p(n) nicht enthalten sein, denn dann waere die zusammengesetzte Zahl groesser p(n-1)) Wegen Satz 2) sind alle Primfaktoren von (p(n)-1)!+1 groesser gleich p(n)

=> Fuer eine Primzahl kann Satz ii erfuellt werden Aussage A2 (Widerpruchsbeweis)

Zitat:

p(n) sei die n-te Primzahl. k=p(n)+z, mit 0 < p(n+1) k-1 ist die Zahl p(n)+(z-1) und kleiner als k k-1 kann sowohl prim als auch nichtprim sein. Der groesste Primfaktor von (k-1)! in beiden Faellen ist p(n)
(Satz 4)
Wegen Satz 2b) sind alle Primfaktoren von (k-1)!+1 groesser gleich p(n+1) da p(n+1)>k
Wegen Satz 2b) sind alle Primfaktoren von (k-1)!+1 groesser k

=> Alle Primfaktoren von (k-1)!+1 sind groesser gleich p(n+1)
Da gilt p(n+1)>k, kann k keinen dieser Primfaktoren kuerzen.
Damit ist Satz ii gezeigt.