Kombinationen und Variationen - allgemeine Problemstellung:
Aus einer Gesamtmenge von z.B. 5 Elementen ( a, b, c, d, e ) sollen z.B. 3 Elemente ausgewählt werden.
Gesucht ist die Anzahl der unterschiedlichen Auswahlmöglichkeiten.

 Komb. = Kombinationen:
Die Reihenfolge der ausgewählten Elemente ist ohne Bedeutung, d.h. die Auswahlen a-b-c und c-b-a sind identisch.

 Var. = Variationen:
Die Reihenfolge der ausgewählten Elemente wird berücksichtigt, d.h. die Auswahlen a-b-c und c-b-a werden als unterschiedliche Auswahlen gezählt.

 o.W. = ohne Wiederholung:
Jedes Element der Gesamtmenge darf nur einmal ausgewählt werden, d.h. die Auswahl a-a-b ist nicht möglich.

 m.W. = mit Wiederholung:
Jedes Element der Gesamtmenge darf mehrfach ausgewählt werden, d.h. die Auswahl a-a-b ist zulässig und wird mitgezählt.

 Permutationen ohne Wiederholung:
Zu einer Menge mit z.B. 5 unterschiedlichen Elementen wird die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen berechnet.
Mögliche Reihenfolgen sind z.B. abcde, abced und edcba, die berechnete Anzahl der Reihenfolgen beträgt bei 5 Elementen 120.

 Permutationen mit Wiederholung:
Zu einer "Menge" mit Elementen, die nicht unbedingt unterschiedlich sein müssen, wird die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen berechnet.
Eingabe: durch Leerzeichen getrennte oder in verschiedene Zeilen geschriebene Zahlen, die angeben, wie oft ein Element vorkommt.
Beispiel: die Eingabe 8 7 2 beschreibt 17 Elemente, von denen ...
... 8 zur  ersten "Klasse", z.B. a gehören.
... 7 zur zweiten "Klasse", z.B. b gehören.
... 2 zur dritten "Klasse", z.B. c gehören.
Mögliche Reihenfolgen sind z.B. aaaaaaaabbbbbbbcc und cabababababababac, deren Anzahl beträgt in diesem Beispiel 875160.

 Beispiel:
Aus einer Gesamtmenge von 40 roten, 30 grünen, 20 blauen und 10 gelben Elementen sollen 15 Elemente ausgewählt werden;
die Reihenfolge der Auswahl ist ohne Bedeutung.

 Eingaben:
Ges : 40 30 20 10
 tm :  9  0  6
o.W. = ohne Wiederholung, jedes der 100 Elemente darf nur einmal ausgewählt werden.
m.W. = mit  Wiederholung, jedes der 100 Elemente darf mehrfach   ausgewählt werden.

 Ausgaben:
a.G = Anzahl der Möglichkeiten, aus den 100 Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 15 Elemente auszuwählen.
a.t = Anzahl der Möglichkeiten, aus den 100 Elementen o.B.d.R. 15 Elemente so auszuwählen, daß genau 9 Elemente rot und genau 6 Elemente blau sind.
W.t = a.t geteilt durch a.G = Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter den 15 ausgewählten Elementen genau 9 rote und genau 6 blaue sind.

 Eingaben:
a , b : natürliche Zahlen.

 Ausgaben:
ggT = größter gemeinsamer Teiler von a und b.
Zusätzlich werden ganze Zahlen a_F und b_F berechnet, so daß gilt:
ggT ( a , b ) = a × a_F + b × b_F

 Eingaben:
a , b , M : natürliche Zahlen ungleich 0.

 Button "a%M"  berechnet a mod M = Divisionsrest von a geteilt durch M.
 Button "b%M"  berechnet b mod M.
 Button "a+b"  berechnet ( a plus b ) mod M.
 Button "a×b"  berechnet ( a mal  b ) mod M.
 Button "a^b"  berechnet ( a hoch b ) mod M ( Längere Rechendauer bei großen Eingabewerten ).
 Button "a/b"  berechnet ( a geteilt b ) mod M, sofern eine Berechnung möglich ist, d.h. sofern ggT ( b , M ) gleich 1 ist.
 Button "1/a"  berechnet ( Kehrwert von a ) mod M, sofern ggT ( a , M ) gleich 1 ist.
 Button "1/b"  berechnet ( Kehrwert von b ) mod M, sofern ggT ( b , M ) gleich 1 ist.

 Eingabe:
a = natürliche Zahl ( größer / gleich 2 ).

 Ausgaben:
Z = Zerlegung von a in ein Produkt aus Primzahlpotenzen.
φ = Wert der Eulerschen φ-Funktion für a.

 Eingabe:
Binärzahl in dem Feld "Bin" oder
Oktalzahl in dem Feld "Okt" oder
Dezimalzahl in dem Feld "Dez" ( maximal 22300745198530623141535718272648361505980415 ) oder
Hexadezimalzahl in dem Feld "Hex"

 Funktionen:
 fak  (n)    ... Fakultät von n, z.B. fak ( 5 ) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120       [ entspricht Anzahl der Permutationen ( ohne Wiederholungen ) ]
 PrVB (v,b)  ... Produkt der Zahlen von v bis b, z.B. prvb ( 3 , 6 ) = prvb ( 6 , 3 ) = 3 * 4 * 5 * 6 = 360
 KoW  (a,b)  ... Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen "b aus a", z.B. KoW ( 9 , 2 ) = 9 * 8 / fak ( 2 ) = 36     [ Synonym für KoW(): bin() ]
 KmW  (a,b)  ... Anzahl der Kombinationen mit  Wiederholungen "b aus a", KmW ( a , b ) = KoW ( a + b - 1 , b )
 VoW  (a,b)  ... Anzahl der Variationen   ohne Wiederholungen "b aus a", VoW ( a , b ) = fak ( a ) / fak ( a - b )
 VmW  (a,b)  ... Anzahl der Variationen   mit  Wiederholungen "b aus a", VmW ( a , b ) = a hoch b
 PmW  (a,b)  ... Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen, z.B. PmW ( 8 , 7 , 2 ) = fak ( 8+7+2 ) / ( fak ( 8 ) * fak ( 7 ) * fak ( 2 ) ) = 875160
 
 Alle Funktionsparameter müssen natürliche Zahlen mit maximal 12 Dezimalstellen sein.
 Die Funktionsergebnisse können durch Multiplikation und Division verknüpft werden.
 Das Endergebniss der Berechnung wird auf 9 bis 10 Dezimalstellen gerundet.
 
 Eingabe-Beispiel:     fak ( 12 ) / [ 5 * fak ( 4 ) ] / fak ( 7 ) = KoW ( 12 , 5 ) = 792

 Funktionen:
 Basis ....  ... AND(v1,...,vN)=UND() ... OR(v1,...,vN)=ODER() ... XOR(v1,...,vN)=XODER()
 Bool .....  ... BOOL(a,b,M) :   M.1:a=0,b=0   M.2:a=0,b=1   M.3:a=1,b=0   M.4:a=1,b=1
 Arithmetik  ... NEG(a) ... ADD(a,b) ... SUB(a,b)
 Rotate ...  ... roL(a,p) ... roR(a,p)
 Shift (1)   ... shL(a,p)=sAL(a,p) ... shR(a,p) ... sAR(a,p)
 Shift (2)   ... shLD(a,z,p)... shRD(a,z,p)
 
 Operatoren       ^ = NOT / NICHT     & = AND / UND     | = OR / ODER 
 
 bit strings      b11111111  =  b 1111 1111  =  o377  =  hFF  =  x FF  =  255  ( =  - 1 / signed bit (8)  )
 
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 Funktionen:
 Mod1 / Div1  ... mod1(-47,10)=+3 ... div1(-47,10)=-5
 Mod2 / Div2  ... mod2(-47,10)=-7 ... div2(-47,10)=-4
 Potenzen 1   ... E10(n) ... E2(n) ... P2(z) ... P3(z)
 Potenzen 2   ... Pow(b,n)=Pot(b,n) ... Pow(b,n,m)=Pot(b,n,m)
 bit strings  ... and(n,m)=und(n,m) ... or(n,m)=oder(n,m) ... xor(n,m)=xoder(n,m)
 mehr FixParm  ... abs(z) ... ggT(n,m) ... fak(n) ... bin(n,m) ... SuVB(v,b) ... PrVB(v,b)
 .... VarParm  ... Min(v1,...,vN) ... Max() ... Sum() ... Prod()
 
 Operatoren  + - * / %    Vorzeichen  - +    Klammern  () [] {}
 
 Fehlerergebnisse:      DvZ  Division durch Null      NaNN  Negative Zahl nicht zulässig
 
 Eingabe-Beispiel:     pow [ 12345 , 67890 , p2 { p3 ( 1234567890 ) } ]
 
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 Funktionen:
 Exp + Log .........  ... Exp(x) . E10(x) . E2(x) ... Log(x,b) . Log(x)=LN(x) . L10(x) . L2(x)
 Potenzen + Wurzeln.  ... Pow(b,x)=Pot(b,x) ... P2(x) . P3(x) ... W2(x) . W3(x)
 Winkel-RAD ........  ...  Sin .  Cos .  Tan ...  aSin .  aCos .  aTan ...  aTan2(x,y)
 Winkel-360° .......  ... gSin . gCos . gTan ... agSin . agCos . agTan ... agTan2(x,y)
 Hyperbolisch ......  ... hSin=sinH . hCos=cosH . hTan=tanH ... ahSin=aSinH . ahCos=aCosH . ahTan=aTanH
 noch mehr FixParm 1  ... grad . rad ... abs ... trunc . floor . ceil ... round(x) . round(x,N)
 noch mehr FixParm 2  ... fak(N) . rFak(x) ... bin(N,M) . rBin(x,y) ... ggT(g,h) . rGGT(x,y) ... SuVB(v,b) ... PrVB(v,b)
 VarParm 1 .........  ... Min(v1,...,vN) . Max ... Sum . Prod ... AMW=ADS=AVG . GMW=GDS
 VarParm 2 = Varianz  ... Var(v1,...,vN) ... nVar(v1,...,vN) ... xVar(X,v1,...,vN)
 
 Operatoren  + - * /    Vorzeichen  - +    Klammern  () [] {}    Konstanten  E PI    Zahlen(Bsp.)  42 4.2 4e2 4e-2
 
 Eingabe-Beispiel:     4 / 3 * pi * p3 ( 6.3675E+6 )
 
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 Funktionen:
 Exp + Log ........  ... Exp(x) ... Log(x,b) ... Log(x)=LN(x)
 Potenzen + Wurzeln  ... Pow(b,x)=Pot(b,x) ... P2(x) . P3(x) ... WZ(x,n,k) ... W2(x) . W3(x) . W3R(x)
 Trigonometrisch...  ... Sin . Cos . Tan
 Hyperbolisch .....  ... hSin=sinH . hCos=cosH . hTan=tanH
 Grundfunktionen ..  ... RE(x)=Real(x) ... IM=Imag ... Konj ... Abs ... Arg
 Diverses .........  ... Polar(r,φ) . P360(r,φ) ... Punkt(x,y) ... Kreuz(x,y)
 
 Operatoren  + - * /    Vorzeichen  - +    Klammern  () [] {}    Konstanten  E PI    Zahlen(Bsp.)  42 4.2 4e2 4e2I 4+2I
 
 Eingabe-Beispiel:     ( 2 + 1 i ) * ( 3 - 2 i ) * ( 1 + 2 i ) / p2 ( 1 - 1 i )
 
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